Бескоалиционные игры (стр. 2 из 2)

С другой стороны, естественно также рассматривать подходящим поведение игроков в конечных бескоалиционных играх, направленное на максимизацию своего выигрыша с учётом максимального противодействия игрока, т.е. подходящей стратегией игрока 1 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 1 в матричной игре с матрицей A, а подходящей стратегией игрока 2 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 2 в матричной игре с матрицей B, если в ней рассматривать решение с позиций максимизации выигрыша игрока 2, т.е. решать её, как для игрока 1, с матрицей

.

Пример1. Министерство желает построить один из двух объектов на территории города. Городские власти могут принять предложения министерства или отказать. Министерство – игрок 1 – имеет две стратегии: строить объект 1, строить объект 2. Город – игрок 2 – имеет две стратегии: принять предложение министерства или отказать. Свои действия (стратегии) они применяют независимо друг от друга, и результаты определяются прибылью (выигрышем) согласно следующим матрицам :

A =

, B =

(например: если игроки применяют свои первые стратегии, министерство решает строить 1 объект, а городские власти разрешают его постройку, тогда город получает выигрыш 5 млн, а министерство теряет 10 млн, и т.д.)

Решение. Для этой игры имеем :

a1 = a11- a12- a21 + a22 = -10 - 2 - 1 - 1 = -14 < 0,

a2 = a22- a12 = -1 - 2 = -3,

.

Так как a1 < 0, то множество решений K имеет следующий вид :

(0, y) при

;

(x,

) при 0 £x£ 1;

(1, y) при 0 £y£

.

Для 2 игрока имеем :

b1 = b11- b12- b21 + b22 = 5 + 2 + 1 + 1 = 9 > 0,

b2 = b22- b21 = 1 + 1 = 2,

.

y

1

Так как b1 > 0, то множество решений LL

имеет следующий вид :

K

(x; 0), при 0 £x£

;

(

; y), при 0 £y£ 1; 0 1 x

(x; 1), при

£x£ 1.

Точка пересечения множеств L и K есть точка C с координатами x =

; y = и является соответственно приемлемыми стратегиями министерства и города.

При этом выигрыш соответственно равен

E1(A,x,y) = (x, 1-x)

=

=

=

E2(A,x,y) = (x, 1-x)

=

Замечание. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей A оптимальные смешанные для 1 игрока и цена игры получаются из решения уравнений

откуда вероятность применения игроком 1 первой стратегии равна

, цена игры – , что совпадает с E1, вероятность применения игроком 2 первой стратегии ; для игры с матрицей B оптимальные смешанные стратегии и цена игры для игрока 2 определяются из системы :

Следовательно, вероятность применения игроком 2 своей стратегии

, а игроком 1 , цена игры , что совпадает с E2.

Таким образом, если каждый из игроков будет применять свои стратегии в этой игре, исходя только из матриц своих выигрышей, то их оптимальные средние выигрыши совпадают с их выигрышами при ситуации равновесия.