Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=

1,

2,

3; …). Действительно, f (x

2T) = f [(x

T)

T] = f (x

T) = f (x), f (x

3T) = f [(x

2T)

T] = f (x

2T) = f (x

2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.
Исследование элементарных функций .
Основные простейшие элементарные функции:
· Линейная функция y=kx+b;
· Степенная функция y=xⁿ;
· Квадратичная функция;
· Показательная функция

(0 <a

1);
· Логарифмическая функция

x (0 < a

1);
· Тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx;
· Обратные тригонометрические функции: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Линейная функция.
y = kx + b
1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x
2. Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел
3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .
4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.
5. Асимптоты графика функции не существуют.
6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.
7. Функция не является ограниченной.
8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.
9. Точек перегиба не существует.
10. Не существует экстремальных точек.

y=kx+b (k<0)y=kx+b (k>0)
Степенная функция.
Степенная функция с натуральным показателем y=xn,
где n-натуральное число.
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= (0;+∞);
3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);
4. Нули функции: y=0 при x=0;
5. Функция убывает при x

(-∞;0];
6. Функция возрастает при x

[0;+ ∞);
7.
a) нет вертикальных асимптот
b) нет наклонных асимптот
8. Если n-четное, то экстремум функции x=0
Если n-нечетное, то экстремумов функции нет
9. Если n-четное, то точек перегиба нет
Если n-нечетное, то точка перегиба x=0
10. График функции:
a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;
b)Если п = 3, то функция задана формулой у = х3. Ее графиком является кубическая парабола;
c)Если п — нечетное натуральное число, причем п
1, то функция обладает свойствами теми же, что и у = х3.
[2] 
Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п
1): 1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений [0,+∞];
3. Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х = 0;
5. Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).
6. График функции: [1]
Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= R;
3. Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х = 0;
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. График функции: [2]
Показательная функция.
Y = ax
1. Область определения функции: -∞ < х < +∞
2. Множество значений функции: 0 < y < +∞
3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x
4. Функция не является периодической.
5. Асимптоты графика функции:
Вертикальных асимптот не существует,
Горизонтальная асимптота у = 0
6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);
7. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);
8. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.
9. Не существует точек перегиба.
10. Не существует экстремальных точек.
[2][1]
Логарифмическая функция.
Y = logax
1. Область определения функции: 0 < x < ∞
2. Множество значений функции: -∞ < y < +∞
3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)
4. Функция не периодическая
5. Асимптоты графика функции:
Вертикальные асимптоты х = 0
Горизонтальных асимптот не существует
6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);
если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);
7. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями
координат.
8.Не существует точек перегиба.
9.Не существует экстремальных точек.
[2]

[1]
Тригонометрические функции.
Функция y=sinx
Свойства функции y=sinx:
1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=[-1;1];
3. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sinx;
4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;
5. Нули функции: sinx = 0 при x = πk, k
Z;6. Функция принимает положительные значения: sinx>0 при x
( 2πk; π+2πk), k
Z;7. Функция принимает отрицательные значения: sinx<0 при x
( π+2πk; 2π+2πk), k
Z;8. Функция возрастает на [-1;1] при x
[ -
+2πk;
+2πk], k
Z;9. Функция убывает на [1;-1] при x
[
+2πk;
+2πk], k
Z;10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=
+2πk, k
Z;