Исследование элементарных функций (стр. 2 из 4)

Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=

3; …). Действительно, f (x

2T) = f [(x

T] = f (x

T) = f (x), f (x

3T) = f [(x

2T)

T] = f (x

2T) = f (x

2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.

Исследование элементарных функций .

Основные простейшие элементарные функции:

· Линейная функция y=kx+b;

· Степенная функция y=xⁿ;

· Квадратичная функция;

· Показательная функция

(0 <a

1);

· Логарифмическая функция

x (0 < a

1);

· Тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx;

· Обратные тригонометрические функции: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Линейная функция.

y = kx + b

1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x

2. Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

5. Асимптоты графика функции не существуют.

6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.

7. Функция не является ограниченной.

8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.

9. Точек перегиба не существует.

10. Не существует экстремальных точек.

y=kx+b (k<0)y=kx+b (k>0)

Степенная функция.

Степенная функция с натуральным показателем y=xⁿ,

где n-натуральное число.

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений: E(f)= (0;+∞);

3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

4. Нули функции: y=0 при x=0;

5. Функция убывает при x

(-∞;0];

6. Функция возрастает при x

[0;+ ∞);

a) нет вертикальных асимптот

b) нет наклонных асимптот

8. Если n-четное, то экстремум функции x=0

Если n-нечетное, то экстремумов функции нет

9. Если n-четное, то точек перегиба нет

Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

10. График функции:

a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;

b)Если п = 3, то функция задана формулой у = х³. Ее графиком является кубическая парабола;

c)Если п — нечетное натуральное число, причем п

1, то функция обладает свойствами теми же, что и у = х³.

Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п

5. Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).

Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :

5. Функция возрастает на всей области определения.

3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a^-^x

6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);

7. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);

8. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.

3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = log_a(-x)

Вертикальные асимптоты х = 0

6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);

если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);

7. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями

4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;

6. Функция принимает положительные значения: sinx>0 при x

7. Функция принимает отрицательные значения: sinx<0 при x

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=