Решение сфероидических треугольников (стр. 2 из 3)
(7)Имея выражения для приведенных длин геодезических линий сферы и поверхности эллипсоида вращения, нетрудно теперь получить по формуле (1) относительные линейные искажения.
Подставляя в числитель формулы (1) выражения (6) и(7) , а в знаменателе с достаточной точностью можно ограничиться mэ ~ So, находим
Из этой формулы видно, что наибольшие линейные искажения будут при Во = 45° и Ао = 0°. Следовательно,
(8)
Формула (8) позволяет установить размеры области поверхности эллипсоида, ограниченной геодезической окружностью, в пределах которой линейные искажения при отображении ее на сферу не могут превзойти наперед заданных величин.
Если, ориентируясь на точность первоклассных геодезических построений, принять (ΔS/S)max< 1*10-8 , то по формуле (8) находим радиус геодезической окружности, равный 133 км. А так как вписать в окружность радиуса 133 км можно треугольник со сторонами порядка 250-270 км то, следовательно, сфероидические треугольники со сторонами, не превышающими 270 км, можно решать как сферические, при этом относительные искажения их элементов не будут превышать 1*10-8. Радиус сферы, при решении таких треугольников, следует принимать равным среднему радиусу кривизны для центра тяжести сфероидического треугольника.
Решение сферических треугольников
Решение сферических треугольников, с точки зрения теории, не вызывает никаких затруднений и может быть выполнено с необходимой степенью точности по различным формулам сферической тригонометрии.
В геодезии, в большинстве случаев, приходится решать треугольники, у которых известны: либо три угла и одна сторона (триангуляция), либо три стороны (триллатерация). Для таких случаев наиболее простым будет применение при решении формул синусов и косинусов сторон сферической тригонометрии.
Рис. 3
Выражая стороны сферического треугольника (рис.3) в частях радиуса сферы:
при заданных углах А, В, D и стороне а, находим:
 |
(9)
или
(10)Если в треугольнике известны все стороны, то на основании теоремы косинуса стороны, будем иметь:
(11)или
(12)Совершенно очевидно, приведенные алгоритмы - это не единственный путь решения сферических треугольников. Возможно использование и других формул сферической тригонометрии при решении тех же треугольников и с теми же самыми исходными данными.
На практике решение треугольников непосредственно по формулам сферической тригонометрии удобно и оправдано в том случае, если это решение выполняется на ЭВМ. Если же оно ведется в ручную - не по программе на ЭВМ, а с использованием настольных средств вычислительной техники, то решение, непосредственно, по формулам сферической тригонометрии становится практически громоздким. Действительно, в этом случае приходится с большой степенью точности вычислять ряд вспомогательных величин (R, a/R, sin (a/R), sin (b/R)), которые в конечном итоге не нужны.
Для решения малых сферических треугольников с использованием настольной вычислительной техники разработаны два способа: способ аддитаментов и способ решения сферических треугольников c применением теоремы Лежандра.
Способ аддитаментов
Суть способа заключается в замене решения сферического треугольника решением плоского с углами, равными углам сферического треугольника, и измененной (на аддитамент) исходной стороной с последующим введением в полученные из решения плоского треугольника стороны поправок (аддитаментов).
Рассмотрим теоретические основы этого способа.
Полагая, что стороны сферического треугольника - малые величины (S < 200 км), по сравнению с радиусом сферы, разложим синусы сторон в выражении (9) в ряд, ограничиваясь членами пятого порядка малости:
Откуда, с той же степенью точности, .находим
(13)где
Обозначая:
(14)тогда выражение (13) примет вид:
(15)или
где
(16)По аналогии, без вывода, можно написать формулы и для вычисления стороны d:
(17)Формулы (14)-(17) позволяют решать сферические треугольники со сторонами S< 250 км. При этом ошибки вычисления сторон не будут превосходить 0.0005 м.
Если стороны треугольников не превышают 100 км, то, при той же точности вычисления, в формулах (14) - (17) можно отбросить малые поправочные члены и вычисления вести по формулам:
(18)Рабочие формулы:
 |
R=6371116 м
| № тр. | Вер- шина | Углы сфериче- ского треуго- льника |  | Уравненные углы | Синусы углов | Условные сторы (S') | AS |
| I | D B A | 81°29'09,117" 45°48'31,438" 52°42'23,540" | -1,111" -1,111" -1,111" | 81°29'08,006" 45°48'30,327" 52°42'22,429" | 0,98897857 0,71701311 0,79553937 | 22879,562 16587,767 18404,435 | 0,049 0,019 0,025 |
| Σ ε W | 180°00'04,095" 00,762" 03,333" | -3,333" | 180°00'0,762" | ||||
| II | D B С | 46°40'25,875" 68°03'27,593" 65°16'06,893" | 0,091" 0,091" 0,092" | 46°40'25,966" 68°03'27,684" 65°16'06,985" | 0,72746003 0,92756057 0,90827908 | 14740,504 18795,136 18404,435 | 0,013 0,027 0,025 |
| Σ ε W | 180°00'00,361" 0,635" -0,274" | 0,274" | 180°00'00,635" |
Решение сферических треугольников с применением теоремы Лежандра
В 1787 г. А. Лежандр доказал теорему, которая в последующем была положена в основу решения сферических треугольников со сторонами, не превышающими 200 - 220 км. Достоинством такого решения является то, что в этом случае решение сферического треугольника заменяется решением плоского треугольника со сторонами, равными соответствующим сторонам сферического треугольника, но измененными углами. Изменения сферических углов при переходе к углам плоского треугольника вычисляются на основании теоремы Лежандра, которая гласит: если сферический треугольник заменить плоским с теми же сторонами, то углы плоского треугольника будут равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным, на одну треть сферического избытка.
Доказательство теоремы Лежандра
Пусть дан сферический треугольник ABD (рис. 3) и соответствующий ему плоский треугольник A'B'D' (рис. 4) с теми же сторонами, но отличными углами А', В', D'.
Напишем очевидное соотношение
(19) 
Рис. 4
Если соответствующие стороны сферического и плоского треугольников равны и не превосходят 200 км, то, вероятно, для сферы радиуса R = Rср = (MN)1/2 углы сферического и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А - А'):