Метод хорд (стр. 2 из 3)

,

де

лежить між і .

Поклавши в ній

, дістанемо

, (4)

Із формули (3), враховуючи (4), знаходимо

.

Оскільки

і — неперервні на , то і буде неперервною на функцією, тому .

Звідси і з неперервності

випливає, що на відрізку існує окіл точки такий, що для будь-якого . Тоді з теореми про достатні умови методу ітерацій (Нехай рівняння має корінь і в деякому околі цього кореня функція задовольняє умову Ліпшиця , де ; тоді для будь-якого послідовність ,обчислена за формулою , збігається до кореня , причому швидкість збіжності характеризується нерівністю ) випливає, що послідовність { }, обчислена за формулою (1), збігається до кореня , якщо початкове наближення . Теорему доведено.

Виведемо формулу, яка дає можливість оцінити абсолютну похибку наближення

через два послідовні наближення і .

Нехай

— неперервна і зберігає на сталий знак, причому

, де , .

З формули

дістаємо

.

Звідси, враховуючи, що

,

маємо

.

Застосувавши теорему Лагранжа, дістанемо

,

де

лежить між точками і , а — між і . Далі запишемо:

або

Оскільки

зберігає на сталий знак, то .

Тому

(5)

Якщо на відрізку

справедлива нерівність , то із (5) випливає оцінка: .

Отже, корінь

рівняння буде знайдено методом хорд із наперед заданою точністю , якщо для двох послідовних наближень і справджуватиметься нерівність

.

Приклад 1. Відокремити корені рівняння

аналітично і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.

Розв’язання. Маємо функцію

.

Похідна

; .

Складемо таблицю знаків функції

:

		-1	0
	-	-	+	+

Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку

Щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну

; на проміжку виконується нерівність .

Для обчислень використаємо формулу

, де .

Результати обчислень розміщуємо в таблиці.

01234	0-0,882-0,943-0,946-0,946	0-0,6861-0,8386-0,8466	00,77790,88920,8949	00,15560,17780,1790	0-0,441-0,4715-0,473	1,50,21730,01210,0014	1,70,41730,21210,2014	10,1180,0570,054	-0,118-0,057-0,054-0,054
Відповідь. Приклад 2. Відокремити корені рівняння графічно і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.Розв’язання. Відокремимо корінь графічно. Побудуємо графіки функції і (рис.2), склавши таблицю значень цих функцій:

рис.2