Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 9 из 12)

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

З таблиці легко вбачаються наступні гіпотези: коріннями рівняння, що належать відрізку

, є числа: ; ; . Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу.

Відповідь.

; ; .

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Рішення тригонометричних нерівностей за допомогою одиничної окружності

При рішенні тригонометричних нерівностей виду

де

--- одна із тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричну окружність для того, щоб найбільше наочно представити рішення нерівності й записати відповідь. Основним методом рішення тригонометричних нерівностей є відомість їх до найпростіших нерівностей типу . Розберемо на прикладі, як вирішувати такі нерівності.

Приклад Вирішите нерівність

.

Рішення. Намалюємо тригонометричну окружність і відзначимо на ній крапки, для яких ордината перевершує

Для

рішенням даної нерівності будуть

.

Ясно також, що якщо деяке число

буде відрізнятися від якого-небудь числа із зазначеного інтервалу на , те також буде не менше . Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно просто додати . Остаточно, одержуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усе

Відповідь.

Для рішення нерівностей з тангенсом і котангенсом корисне поняття про лінію тангенсів і котангенсів. Такими є прямі

й відповідно (на малюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричної окружності.

Легко помітити, що якщо побудувати промінь із початком на початку координат, що становить кут

з позитивним напрямком осі абсцис, то довжина відрізка від крапки до крапки перетинання цього променя з лінією тангенсів у точності дорівнює тангенсу кута, що становить цей промінь із віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й для котангенса.

Приклад Вирішите нерівність

Рішення

Позначимо

, тоді нерівність прийме вид найпростішого: . Розглянемо інтервал довжиною, рівної найменшому позитивному періоду (НПП) тангенса. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів установлюємо, що . Згадуємо тепер, що необхідно додати , оскільки НПП функції . Отже,

Вертаючись до змінного

, одержуємо, що

Відповідь.

Нерівності зі зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.

Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом

Помітимо, що якщо

--- періодична функція, то для рішення нерівності необхідно знайти його рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції . Всі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень , а також всіх , що відрізняються від знайдених на будь-яке ціле число періодів функції .

Розглянемо рішення нерівності

( ).

Оскільки

, те при нерівність рішень не має. Якщо , то множина рішень нерівності --- множина всіх дійсних чисел.

Нехай

. Функція синус має найменший позитивний період , тому нерівність можна вирішити спочатку на відрізку довжиною , наприклад, на відрізку

Будуємо графіки функцій

і ( )

На відрізку

функція синус зростає, і рівняння , де , має один корінь . На відрізку функція синус убуває, і рівняння має корінь . На числовому проміжку графік функції розташована вище графіка функції . Тому для всіх із проміжку ) нерівність виконується, якщо . У силу періодичності функції синус всі рішення нерівності задаються нерівностями виду: