Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 7 из 12)

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Областю припустимих значень рівняння є

.

Спочатку покажемо, що функція

при будь-яких може приймати тільки позитивні значення.

Представимо функцію

в такий спосіб

Оскільки

те має місце

, тобто .

Отже, для доказу нерівності

, необхідно показати, що

Із цією метою зведемо в куб обидві частини даної нерівності, тоді

Отримана чисельна нерівність свідчить про те, що

. Якщо при цьому ще врахувати, що , то ліва частина рівняння ненегативна.

Розглянемо тепер праву частину рівняння .

Тому що

, те

.

Однак відомо, що

Звідси треба, що

тобто права частина рівняння не перевершує

. Раніше було доведено, що ліва частина рівняння ненегативна, тому рівність у може бути тільки в тому випадку, коли обидві його частини рівні , а це можливо лише при .

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Позначимо

й .

Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, одержуємо

Звідси треба, що

C іншої сторони має місце

Отже, рівняння не має корінь.

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді

Відповідь.

.

Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь

Не всяке рівняння

в результаті перетворень може бути зведене до рівняння того або іншого стандартного виду, для якого існує певний метод рішення. У таких випадках виявляється корисним використовувати такі властивості функцій і , як монотонність, обмеженість, парність, періодичність і ін. Так, якщо одна з функцій убуває, а друга зростає на проміжку , то при наявності в рівняння кореня на цьому проміжку, цей корінь єдиний, і тоді його, наприклад, можна знайти підбором. Якщо ж функція обмежена зверху, причому , а функція обмежена знизу, причому , то рівняння рівносильне системі рівнянь

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо вихідне рівняння до виду

і вирішимо його як квадратне відносно

. Тоді одержимо

Вирішимо перше рівняння сукупності. Урахувавши обмеженість функції

, доходимо висновку, що рівняння може мати корінь тільки на відрізку . На цьому проміжку функція зростає, а функція убуває. Отже, якщо це рівняння має корінь, то він єдиний. Підбором знаходимо .

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Нехай

, і

тоді вихідне рівняння можна записати у вигляді функціонального рівняння

Оскільки

функція непарна, те

.

У такому випадку одержуємо рівняння

Тому що

, і

монотонна на

те рівняння

рівносильне рівнянню

, тобто , що має єдиний корінь .

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. На підставі теореми про похідну складну функцію ясно, що функція

убутна (функція убутна, зростаюча, убутна). Звідси зрозуміло, що функція певна на , що убуває. Тому дане рівняння має не більше одного кореня. Тому що , те

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння

.

Рішення. Розглянемо рівняння на трьох проміжках.

а) Нехай

. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню . Яке на проміжку рішень не має, тому що , , а . На проміжку вихідне рівняння так само не має корінь, тому що , а .