Прикладная математика 2 (стр. 9 из 10)

Ć	Б	Н	X1	X2	X3	X4	Пояснения
-1	X2	24/330	0	1	0	666/330
-1	X3	10/330	0	0	1	690/330
-1	X1	8/330	1	0	0	-933/330
-42/330-K	0	0	0	-423/330

, тогда ;

Цена игры равна

;

Найдем теперь оптимальную стратегию P^*первого игрока. Выигрыш первого игрока будет не меньше, чем цена игры:

Разделим каждое из этих неравенств на

и введем обозначения . Получим:

Поскольку

, то

Но

есть выигрыш Первого игрока, который стремиться его максимизировать. Следовательно, величина должна быть минимальна. Таким образом, имеем следующую задачу линейного программирования:

Найти вектор

, который обеспечивает минимум целевой функции , при следующих ограничениях:

Эта задача является двойственной по отношению к рассмотренной выше задаче.

Прямая задача:	Двойственная задача:

; ;

;

Т.к. x₁, x₂, x₃отличны от нуля:

;

, а цена игры по-прежнему равна ;

;

Теперь возвращаемся к исходной матрице игры

. Решение игры принимает вид:

; ; ;

q1=4/21	q2=12/21	q3=5/21	q4=0
p1=2/7	0	-5	3	-1
P2=3/14	4	-8	7	-10
P3=7/14	-6	2	-9	5

Найдем риск игры при использовании игроками своих оптимальных стратегий:

;

А также риск при использовании одним из игроков своей чистой, а другим – своей оптимальной стратегии (нижний индекс – Первого игрока, верхний – Второго):

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

Минимальное значение риска равно

и меньше . Этот риск соответствует ситуации, когда первый игрок играет по своей чистой первой стратегии P₁, а второй игрок использует оптимальную стратегию Q^*. Однако,играть с таким риском можно только с согласия обеих игроков, т.е. при их сотрудничестве друг с другом.

7. Анализ доходности и риска финансовых операций

Постановка задачи:

В реальной жизни мы имеем дело с финансовыми операциями. Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Таким образом, любая финансовая операция должна быть оценена, по крайней мере, по двум показателям, а именно: доход – риск.

Предположим, что имеется несколько таких операций, каждая из которых характеризуется случайным доходом Q.

Средний ожидаемый доход `Q - это математическое ожидание с.в. Q:

, где p_i есть вероятность получить доход q_i. А среднее квадратическое отклонение - это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать s количественной мерой риска операции и обозначить r. Дисперсия

D[Q] = M [(Q - `Q)<sup>2</sup>] = M [Q<sup>2</sup>] - `Q².

Рассмотрим четыре операции Q₁, Q₂, Q₃, Q_,4. Найдем средние ожидаемые доходы `Q_i и риски r_i операций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

0	8	12	24
1/4	1/4	1/3	1/6

-6	-2	0	-6
1/4	1/4	1/3	1/6

0	2	4	16
1/3	1/3	1/6	1/6

-6	-5	-4	3
1/3	1/3	1/6	1/6