Изучение методов интерполяции и аппроксимации (стр. 1 из 2)

XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения »

Изучение методов

интерполяции и аппроксимации

Выполнила учащаяся группы ФМ3.2

Сарманова Снежана Геннадьевна

Научный руководитель: Бородкин

Дмитрий Константинович,

преподаватель информатики Лицея №2

г.Ангарск, 2009

Содержание

1. Аннотация……………………………...…………………………………………………....3

2. Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3

3. Введение………………………………………………………………………..…….……...4

4. Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5

· Теория ………………………………………………………………………….........5

· Блок-схема……………………………………………………………...……………6

· Текст программы……………………………………………………………..….….7

· Пример…………………………………………………………………..……….…..7

5. Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8

· Теория…………………………………………………………………….……….. 10

· Блок-схема…………………………………………………………….....…………11

· Текст программы…………………………………………………………….……..12

· Пример……………………………………………………………………………...13

6. Инструкция по работе с программами……………............................................................16

7. Заключение…………………………………………………………………………………17

8. Список литературы………………………………………………………………………...18

Аннотация

В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов.

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.

Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.

Цель работы: разработать программы вычисления значений функции f(x) для значений х, не содержащихся в таблице.

Задачи:

· Изучить и проанализировать научную, справочную литературу

· Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени

· Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы

· Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0

Гипотеза: создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами.

Введение

Если задана функция y (x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)

φ(х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а={а₁, а₂, …, а_n} и соответствующим их выбором. В этом случае используются такие понятия как, аппроксимация и интерполяция.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x) в точках x, лежащих между точками x₀ по известным значениям yi = f( xi) (где i = 0,1,..., n). Если x лежит вне интервала ( x₀, xn), аналогичная процедура называется экстраполяцией.

Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений х, не содержащихся в таблице.

АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь) - замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например, кривых линий близкими к ним ломаными).

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная.

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки ( х_i, у_i) ( i=0, 1, …, n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Рис. пример интерполяции

Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется nинтервалов ( х_i-1 , х_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х_i-1 , у_i-1) и (х_i , y_i), в виде

=

Отсюда

y= a_ix + b_i ; x_i-1 ≤ x ≤ x_i , (1)

, b_i= y_i-1 – a_ix_i-1 .

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.

Данный алгоритм представлен на рисунке

Нет

Да

Нет