Теоремы тригонометрии (стр. 2 из 3)
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернуллив письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x.
Синус, косинус, тангенс, котангенс.
· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).
· Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).
Значения тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
 | 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) |
 |  |  |  |  |  | |  | |
 | | | | | | | | |
 | |  | |  | N/A | | N/A | |
 | N/A | | | | | N/A | | N/A |
Значения косинуса и синуса на окружности.
Свойства тригонометрических функций
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:
Формулы приведения:
sin(90° - α) = cosα
cos(90° - α) = sinα
sin(180° - α) = sinα
cos(180° - α) = - cosα
Чётность и нечетность функций.
Чётная функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = f(x)
Нечётная функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = -f(x)
Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:
Теоремы
Теорема о площади треугольника:
| Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.S = ½ ab sin C |
Дано:
∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h-высота
Доказать:
S = ½ absinC
Доказательство:
Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но hравна ординате точки А, т.е. h= bsinC (т.к. sinC = h/b) => S = ½ absinCЧ.т.д.
| Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC |
Дано: ∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= bДоказать:
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
Доказательство:
По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S = ½ bcsinA, S= ½ acsinB.
Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,
½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b
a sinC = c sinA │: sinA sinC
a/sinA = c/sinC
Точно также из второго и третьего равенства получаем
½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c
b sinA = a sinB │: sinA sinB
b/sinB = a/sinA
Таккакa/sinA = c/sinC иb/sinB = a/sinA, тоa/sinA= b/sinB= c/sinC.
Ч.т.д.
Замечание:
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего
угла равно диаметру описанной окружности.
a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R
Дано:
R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр
Доказать:
BC/sinA = 2R (BC=2RsinA)
Доказательство:
Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2RsinAили BC/sinA= 2R.
Ч.т.д.
| Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.a2 = b2 + c2 − 2bc cosα. |
Дано:∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать:
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
Доказательство:
Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(bcosA; bsinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2получаем:
ВС2 = a2 = (b cosA – c)2 +(bsinА- 0) 2,
a 2= b2cos2A - 2bc cosA + c2 + b2 sin2A,
a2= b2 (cos2A + sin2A) + c2- 2bc cosA,
a2= b2+ c2 – 2bc cosA.
Ч.т.д.
Обобщенная теорема Пифагора.
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a2 = b2 + c2 − 2bccosα получаем:
a2 = b2 + c2 ,
т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.
Задачи
№1
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: