Замечание. Перестановки можно считать частным случаем размещений (именно размещениями из

элементов по

) .
3. Сочетания. Из

различных элементов будем составлять множества по

элементов, имеющих различный состав. Полученная при этом комбинации элементов называются
сочетаниями из

элементов по

. Общее число различных между собой сочетаний обозначается

и вычисляется по следующим формулам:

,
или

.
Лекция №2 Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий

Числовая неотрицательная функция

удовлетворяет следующим свойствам:
1. Если события

образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

2. Вероятность противоположного события:

3. Если событие

влечет за собой событие

, то вероятность события

не превосходит вероятность события

, т.е.

Пусть

и

- наблюдаемые события в эксперименте , причем

. Условной вероятностью

осуществления события

при условии, что событие

произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:

Теорема сложения:
Пусть событие

-совместные события. Тогда вероятность их объединения вычисляется по формуле:

.
Теорема умножения :
Вероятность произведения событий

равна произведению вероятностей событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие имели место:

2.2. Формула полной вероятности. Формула Бейеса ( теорема гипотез)
Пусть случайный эксперимент можно описать событиями

которые являются попарно несовместными

и

Такие события

называют
гипотезами . Предполагается, что событие

может произойти с одной из гипотез

.
Теорема: Вероятность любого события

, которое может произойти с одной из гипотез

будет равна сумме произведений вероятностей гипотез на условную
вероятность события

:

- формула полной вероятности.
Пусть случайный эксперимент можно описать попарно несовместными событиями

объединение которых образует пространство элементарных событий

Событие

может произойти с одной из гипотез. Предполагается, что в результате эксперимента произошло событие

. Как изменится вероятность гипотез при этом? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема: Пусть событие

может произойти с одной из гипотез

Которые описывают случайный эксперимент. Если в результате реализации
эксперимента произошло событие

, то вероятность гипотез вычисляются по
следующим формулам :

- формулы Байеса.
Лекция №3 -5 Случайные величины. Функции распределения случайных величин
3.1. Дискретные случайные величины
Случайная величина , обозначаемая

, называется
дискретной, если она принимает
конечное либо счетное множество значений, т.е. множество

-конечное, либо счетное.
Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар
чисел

, где

- возможные значения случайной величины, а

- вероятности, с
которыми она принимает эти значения, причем

Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения:

где суммирование распространяется на все значения индекса

, для которых

Математическим ожиданием

дискретной случайной величины

называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:
Модой дискретной случайной величины, обозначаемой

называется ее наиболее вероятное значение.
Медианойслучайной величины

называется такое ее значение

, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше

, т.е.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения:

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

или

Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины

называется арифметический корень из дисперсии, т.е.