
.
Поскольку

, то критерий при известных генеральных дисперсиях будет равен:

При выполнении гипотезы
критерий 
при больших объемах выборок или при малых, при условии, что генеральные совокупности

и

подчиняются нормальному закону, так же будет подчиняться нормальному закону

с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, например, при конкурирующей гипотезе

, выбирают двухстороннюю критическую область. Критическое значение критерия

выбираем из условия:

.
Если фактически наблюдаемое значение критерия

по абсолютному значению больше критического

, определенного на уровне значимости

, т.е.

, то гипотеза
отвергается. Если

, то делаем вывод, что нулевая гипотеза

не противоречит имеющимся наблюдениям.
При неизвестных генеральных дисперсиях

и

, но они равны, т.е.

, то в качестве неизвестной величины

можно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию:

или

.
Однако лучшей оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних

будет дисперсия смешанной совокупности

:

.
В этом случае критерий вычисляем по выражению:

.
Доказано, что в случае критерий

имеет распределение Стьюдента с

степенями свободы. Поэтому критическое значение критерия

находится в зависимости от типа критической области по функции

распределения Стьюдента, т.е.

.
При этом сохраняется тоже правило принятия гипотезы: гипотеза
отвергается на уровне значимости 
, если

и принимается, если

, т.е. с надежностью

можно считать расхождение средних значений незначимым.
В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.
Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.
Например, если в ряде наблюдений

,

- резко отличается, то справедливость гипотезы

:

о принадлежности

к остальным наблюдениям проверяем по критерию:

,
где

- средняя арифметическая,

-«исправленное» среднее квадратическое отклонении ряда наблюдений

. При справедливости

критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы

. При конкурирующей гипотезе

или

, т.е. является ли резко выделяющееся значение меньше или больше остальных наблюдений

находится по функции

распределения Стьюдента при условии, что

. Если

, то гипотеза

принимается. При условии

, гипотеза

отвергается.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы
, о том, что дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей 
, сводится к сравнению выборочных «исправленных» дисперсий

и

, вычисляемые по двум независимым выборкам объемом

и

. В качестве критерия принимается отношение выборочных «исправленных» дисперсий

и

:

.
Доказано, что при справедливости гипотезы
критерий 
представляет собой случайную величину с распределением Фишера-Снедекора с степенями свободы

и

.