Узагальнена функція Гріна (стр. 3 из 3)

Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння

, застосувавши метод Ейлера. Тобто розв'язок шукаємо у вигляді = . Знайшовши

= , = , підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на маємо так зване характеристичне рівняння: ,з якого знайдемо корені :

З цього маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння:

За теоремою про загальний розв'язокоднорідного рівняння, маємо:

де

Тому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім’ю розв’язків

, де – довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо . Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв’язок диференціального рівняння задачі: . Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд:

Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти

. Сталу виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розв’язку й функції :

Звідси

= . Остаточно маємо:

Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі

За функцію

візьмемо (коефіцієнт вибирається з умови нормованості ) Розв'язком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад .

Далі рівняння

Має частинний розв'язок вигляду

, отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

(коефіцієнт

вбирають у себе функції і ).

Оскільки в нашому випадку

, то умови неперервності і стрибка похідної функції при мають вигляд

, .

Звідси

, ;

Наслідком крайової умови в точці

є рівність . Тоді в точці маємо: .Отже, функція

задовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.

Нарешті, функцію

визначимо з умови ортогональності

. Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо

Остаточно маємо