Узагальнена функція Гріна (стр. 2 из 3)

, (8)

Кожна з яких є розв’язком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можна задовольнити, відповідним чином обравши довільнусталу с₁.

Підсумком наведених міркувань є така теорема:

Теорема1

Розв’язок крайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція

ортогональна до кожного розв'язку відповідної однорідної крайової задачі.

Тепер покажемо, що розв’язок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення

,

Де функція

задовольняє крайові умови й при кожному

є ортогональною до

.

Насамперед, запровадивши функцію

за аналогією з не виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді

(9)

Оскільки

, ,

, ,

То

задовольняє умову лише в лівому кінці проміжку , адже розв’язок не задовольняє жодної умови (2). Отже, функцію доведеться відповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт:якщо у формулі(9) зробити заміну - , де довільні функції, то вона й надалі визначатиме розв’язок рівняння (3):адже ортогональна до . Неважко зрозуміти, що перетворена функція задовольнятиме обидві крайові умови, якщо функцію вибрати так, щоб при деякому виконувалися рівності

, , , (10)

Найзручнішим буде такий вибір:

Легко перевірити, що ця функція не лише задовольняє умови (10), а й є розв’язком неоднорідного рівняння

= . При цьому, якщо додатково вимагати, аби розв'язок був ортогональним до на ,то .

Тепер залишилось покласти

І вибрати функцію

так, щоб була ортогональною до . Для цього домножимо праву частину останньої нерівності на , одержаний добуток зінтегруємо за змінною і результат прирівняємо до нуля. З одержаного рівняння легко знайдемо

.

Остаточно маємо

(11)

З урахуванням властивостей цієї функції дамо таке означення.

Означення.

Функцію

називатимемо узагальненою функцією Гріна крайової задачі (2)-(3), якщо вона задовольняє такі умови:

1. Функція

неперервна в квадраті К= ,має неперервні частинні похідні , у кожному з трикутників , ;

2. Для кожного фіксованого

функція задовольняє рівняння Lx(t)= - при всіх , , а також крайовій умові (2).

3. На діагоналі

квадрата К похідна має розрив першого роду зі стрибком 1/p(s): - .

4. Для кожного фіксованого

функція ортогональна до функції : .

5.

Сформулюємо алгоритм відшукання узагальненої функції Гріна.

· Знаходимо таку фундаментальну систему

, лінійного однорідного рівняння (1), щоб розв'язок задовольняв умови(2).

· Знаходимо будь-який розв'язокg(t,s)неоднорідного рівняння Lx(t)= -

.

· Узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

Функції

обираємо так, щоб останній доданок задовольняв пунктам 1 і 3 означення узагальненої функції Гріна;функцію - так, щоб задовольняла крайові умови задачі;нарешті, вибором функції забезпечуємо виконання умови ортогональності 4.

Проаналізувавши вигляд правої частини формули (11), можна зробити висновок, що

з потрібними властивостями існують.

Розглянемо приклад.

Розв’яжемо крайову задачу

, <

<

;