Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (стр. 1 из 2)

Бабаев Х.

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения.

РЕФЕРАТ

В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.

Библиография 4 названия

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения

В первые в работе [1] была поставлена и иcследована нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является обобщением задачи Дириxле. В данной работе иcследуется один из аналогов этой задачи для уравнения.

Пусть: Д область ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыxx=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с координатами (1;0), (0;1), (0;0), (

; ), (1;1) соответственно.

Задача. Найти регулярное в области Д/OА решение уравнения (1) довлетворяющее краевым

(2)

(3)

(4)

(5)

условиям и условиям склеивания

(6)

Где

-задание функции, причем -известные постоянные; постоянная β удовлетворяет неравенству -внутренняя нормаль.

Любое регулярное решение уравнения (1) в области

представлено в виде

(7)

где z(X,У)-регулярное решение уравнения

(8)

W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Без ограничения общности можно предположить, что W (0)=0б W (1)=0, сперва приводим доказательство единственности решения изучаемой задачи.

Теорема. Если

то функция U (Х,У)=0 в области Д.

Доказательство. На основании (2), (7) задача редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0 удовлетворяющего краевым условиям

φ(У)-W(У), Z( )=φ(У)-W(У)

где U(1,У)= φ(У), U(

)=φ(У) (9)

Из (6) следует

Учитывая (3) и условие (9) получим:

L φ(x)

общее решение уравнения (1) в области Д

={(x,y)Є D, y<0}даётся известной формулой Даламбера

реализуя условие (10) из (11) имеем

φ(x)

или

φ(x)-

отсюда

φ(x+y)-

тогда из (11) получим U(X,Y)=

φ(X+Y)- (12)

Используя (4) (ψ

(X)≡0) из (12) найдем

φ d + φ (13)

дифференцируя выражение (13) имеем

φ + φ =0

разделяя на

(x)≠0 получим

φ(x)+

φ =0 (14)

предпологая

имеем:φ(x)-L(x) φ(βx)=0 (15)

функциональное уравнение (15) не имеет нетривиальных решений.

Действительно применяя метод итерации находим

φ(х)=L(х)φ(βx)

φ(βx)=L(βx)·φ(

)

φ(β

x)=L(β x) φ(β x)

из этих равенств имеем

φ(х)=L(x)L(βx)…L(β

x)φ(β x) (16)

(0≤x≤1)

из (16) следует, что при n→∞ функция φ(х)≡0

Следовательно из (12) получим

U(X,Y)= -

(1)+ (X-Y)

Отсюда

Или

Обозначим U(X,1)=ψ(X). тогда условие (5) примет вид

U(x,y

)=

Следовательно из (7)

теперь нетрудно убедиться, что функция Z(X,Y) не достигает максимума на линии У=1. Из условий

следует, что Z(X,Y) не достигает максимума (минимума) и на отрезках OB и OA.

Функция Z(Х,Y) не достигает максимума (минимум) и на отрезке АЕ. Действительно, если Z(X,Y) достигает максимума (минимума) на АЕ, то из условия Z(X

,Y)=φ(Y)-W(Y)

Следует, что этот максимум (минимум) должен реализоваться и внутри области, что противоречит известным свойствам решений элиптических уравнений.

Итак Z(X,Y) ≡ 0 в области Д

, W(Y) ≡ 0 при 0≤Y≤1. U ≡ 0 и в области Д (Задача Коши).

Таким образом U(X,Y)≡0 в области Д.

Теперь переходим к доказательству существования решения изучаемой задачи.

Реализуя условие (3) имеем:

φ(x)+ψ (x)-

тогда из (11) получим

φ(Х+У)+ψ (Х+Y)- (1)+ (X-Y) (18)

используя условие (4) после простых преобразований приходим к функциональному уравнению.

Φ(х)-L(x)φ(βx)=δx (19)

Где δ(x)=

Единственное решение функционального уравнения (19) можно найти применением метода итерации.

Таким образом неизвестная функция φ(х) определена единственным образом. Из (18) найдём

U

(X,0)+U (X,0)= (X) (20)

Где известная функция

регулярное в области Д

решение уравнения (8) удовлетворяющее краевым