Иррациональные уравнения и неравенства (стр. 2 из 4)

данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ: 0,7

· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x

Проверка:

x

x = 3,

4x

1 = 1.

x = 1,75
Ответ: 3.

· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

но , значит:

возведем обе части уравнения в куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

· Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение

Решение.

Пусть

= t, тогда = , где t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

Проверка:x = 2,5

Ответ: 2,5.

б) Решить уравнение

Решение.

Пусть

= t, значит = , где t > 0

t

+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x

+ 8 = 16, Проверка:

x

= 8, x = 2,

x = 2. 6 = 6

Ответ: 2.

в) Решить уравнение

Решение.

Пусть

= t, где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка:

,

Ответ: –5; 2.

Решение сложных иррациональных уравнений:

· Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в квадрат

Пусть

= t

t ²– 11t + 10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

= 10,или = 1, x = ,

x =

-пост. корень 0

Ответ: 1. x = 1,

1 = 1

· Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

,

lg(3

= lg ,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ: 32,75

б) Решить уравнение

Решение.

Ответ:

; – 2; 3.

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида

равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида

равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

и

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.