Метризуемость топологических пространств (стр. 1 из 8)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные понятия и теоремы
Определение. Метрическим пространством называется пара
, состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции 
, определенной для любых 
и 
из и удовлетворяющей трем условиям:1)
(аксиома тождества);2)
(аксиома симметрии);3)
(аксиома треугольника).Определение. Пусть
– некоторое множество. Топологией в называется любая система 
его подмножеств 
, удовлетворяющая двум требованиям:1. Само множество
и пустое множество принадлежат .2. Объединение
любого (конечного или бесконечного) и пересечение 
любого конечного числа множеств из принадлежат .Множество
с заданной в нем топологией , то есть пара 
, называется топологическим пространством.Множества, принадлежащие системе
, называются открытыми.Множества
, дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .Определение. Совокупность 
открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства
, если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из 
.Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве 
обладает следующими двумя свойствами:
1) любая точка 
содержится хотя бы в одном 
;
2) если содержится в пересечении двух множеств 
и 
из , то существует такое 
, что 
.
Определение. Открытым шаром или окрестностью точки 
радиуса 
в метрическом пространстве 
называется совокупность точек 
, удовлетворяющих условию 
. При этом 
– центр шара, – радиус шара.Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса 
, включенная в -окрестность точки .
Доказательство. Выберем в качестве
: 
.Достаточно доказать для произвольного
импликацию 
. Действительно, если 
, то 