Метризуемость топологических пространств (стр. 6 из 8)

Докажем следующее:

1.

-метрика на ;

2. метрики

и эквивалентны;

3.

.

1. Проверим выполнимость аксиом.

1)

;

2)

;

: Докажем, что .

Известно, что

.

· Если

и , то и , тогда . Так как , то .

· Если

или , то , а , тогда .

2. Пусть

- топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть

- открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрики

и эквивалентны.

3. Из формулы

следует, что для любых . Отсюда .

Определение.

- топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа.

Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

Доказательство. Пусть

- метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно.

Рассмотрим

.

Покажем:

1.

является метрикой на и .

2. топология, порожденная метрикой

, совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1)

(так как - метрика по условию).

2)

, .

Так как

( -метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что

.

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

Теперь докажем, что

.

, где геометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество

, открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку

. Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что .

Пусть

- положительное целое число, удовлетворяющее условию: