Метризуемость топологических пространств (стр. 5 из 8)

Определение. Множество

всюду плотно в

, если любое непустое открытое в множество содержит точки из .

Определение. Топологическое пространство

называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

Определение. Семейство γ открытых в

множеств образуют покрытие пространства

, если содержится в объединении множеств этого семейства.

Определение. Топологическое пространство

называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.

Свойство 5. Для метризуемого пространства

следующие условия эквивалентны:

1)

сепарабельно,

2)

имеет счетную базу,

3)

финально компактно.

Доказательство.

Пусть

- счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой .

Докажем, что

. Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.

Пусть - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого ( - индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.

Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.

Определение. Диаметром непустого множества

в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается .

.

Если

, то множество называют неограниченным.

Определение. Метрика

метрического пространства называется ограниченной, если .

Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика

порождает топологию топологического пространства . Положим для любых .