Метризуемость топологических пространств (стр. 3 из 8)

.

Так как

и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.

2. 1)

2) так как

и , то вторая аксиома очевидна: .

3) рассмотрим точки

, , и докажем следующее неравенство: .

Тогда и

.

3. 1)

2) так как

и , то вторая аксиома очевидна:

.

3) рассмотрим точки

, , .

Неравенство:

- очевидно.

· Введенные метрики

и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика

порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что

.

Рассмотрим множество,

открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .

Аналогично доказывается, что

. А тогда и .

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть

. Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что

, тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

Следствие. Метризуемое пространство является

- пространством.

Определение. Расстоянием от точки

до множества в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество

фиксировано; тогда функция

, сопоставляющая каждой точке

расстояние

, непрерывна на пространстве

.

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция

называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства

, где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного

возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана.

Лемма.

– замкнутое множество в метрическом пространстве

. Для любого

расстояние от

до множества

положительно.

Доказательство.

Множество

замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое , что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.