Метризуемость топологических пространств (стр. 2 из 8)

Получаем, что

, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

· Свойство первое очевидно, так как для любого

выполняется для любого .

· Проверим второе свойство.

Пусть

, и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана.

Определение. Топологическое пространство

метризуемо, если существует такая метрика

на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Аксиомы отделимости

Аксиома

. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.

Аксиома

. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.

Предложение.

является

- пространством тогда и только тогда, когда для любого

множество

замкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть

. Так как является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим

Докажем, что

. Применим метод двойного включения:

· Очевидно, что

по построению множества .

·

.

Пусть

отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда .

Множество

- открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество

- замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность. Рассмотрим

. По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку

Что и требовалось доказать.

Аксиома

( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома

. Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам

( ) называются

-пространствами ( -пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).

Определение. Пространство называется нормальным или

-пространством, если оно удовлетворяет аксиоме

, и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки

, если для любой окрестности

точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .

Определение. Если точка

топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.

Определение. Две метрики

и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости

для точек и определим расстояние тремя различными способами:

1.

,

2.

,

3.

.

· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1)

2) так как

и , то вторая аксиома очевидна:

3) рассмотрим точки

, , и докажем следующее неравенство:

Возведем это неравенство в квадрат: