Алгебраические группы матриц (стр. 1 из 9)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
1.3 Компоненты алгебраической группы
-группах3 Линейные отображения. Действия с матрицами
Список использованных источников
Множество
матриц 
-ой степени над 
будем рассматривать как аффинное пространство 
с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа 
. В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в
, диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. 
- совокупность всех невырожденных матриц из 
. Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
где
- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.Диагональная группа
, группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа 
(для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа 
(треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.Централизатор произвольного множества из
в алгебраической группе 
, нормализатор замкнутого множества из в .Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц
из --- алгебраическая группа. Она обозначается 
и называется алгебраической группой, порожденной множеством .Каждую алгебраическую линейную группу из
можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из 
в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество всех матриц из
, оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму 
на 
.Пусть
--- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), 
--- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу 
и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть
т. е.
--- структурные константы алгебры . Пусть далее
где
. Тогда задается в матричных координатах 
очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.
В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.
1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу 
конечного индекса, то 
сама алгебраическая.
Доказательство. Пусть
- аннулятор группы в 
, 
- его корень в 
. Надо показать, что 
. Пусть, напротив, 
. Пусть 
- смежные классы 
по 
. Для каждого 
выберем многочлен
и положим
Очевидно,
, 
. Получили противоречие.