Алгебраические группы матриц (стр. 8 из 9)

Можно записать

, где

- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить

на , показывает, что справедливы соотношения

Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений

для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .

Как мы знаем (см. (5)), матрицы из

можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу .

Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:

- известная нам скалярная матрица.

В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности

с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

3.3.1 Теорема. Матрица из

, перестановочная со всеми матрицами в

, должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу

, в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

с единственным ненулевым

-м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и . Меняя и , получаем требуемое.

Отметим еще соотношения

, которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

Для данной матрицы

можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие

Если матрица

существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

означающее, что

--- преобразование, обратное к . существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что

Пусть теперь

--- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы

и применим к обеим частям этих равенств преобразование

. В силу его линейности получим

Так как

, то

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что

, --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где --- некоторая матрица. Переписав условие ( ) в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к

, существует в точности тогда, когда преобразование

биективно. При этом преобразование

линейно. Биективность

равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)

где

--- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого , а инъективность дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы , так что .