Алгебраические группы матриц (стр. 7 из 9)

Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения

при фиксированных и можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть --- два линейных отображения. Отображение

определяется своими значениями:

В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

Так как

то

- линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером :

Матрицу

с элементами естественно назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и :

Итак,

.

Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

3.2 Произведение матриц

Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера

и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть

, --- линейные отображения, --- их композиция.

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что

--- линейное отображение, но это довольно ясно:

(i)

;

(ii)

;

поэтому по теореме 1 с

ассоциируется вполне определенная матрица .

Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле (

):

С другой стороны,

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что

--- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

Будем говорить, что матрица

получается в результате умножения матрицы на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется прямоугольная матрица размера с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение

двух линейных отображений с матрицами

и

является линейным отображением с матрицей

. Другими словами,

Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение

двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ

имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице

совпадает с числом строк в матрице

. Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец ", согласно которому

Число строк, матрицы

равно числу строк матрицы

, а число столбцов --- числу столбцов матрицы

. В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря,

, как показывает хотя бы следующий пример:

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).

3.3 Квадратные матрицы

Пусть

(или ) --- множество всех квадратных матриц ( ) порядка с вещественными коэффициентами ,

Единичному преобразованию

, переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица