Алгебраические группы матриц (стр. 6 из 9)

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы

, устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца

свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов матрицы . Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то и , откуда (см. формулировку теоремы 1).

Обратно, если ранги матриц

и совпадают и --- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы , то расширенная система будет линейно зависимой, а это означает, что --- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть, система (2) совместна.

3. Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

Пусть

и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера . Определим отображение , полагая для любого

где

--- столбцы матрицы . Так как они имеют высоту , то в правой части (1) стоит вектор-столбец . Более подробно (1) переписывается в виде

Если

,

то

.

Аналогично

.

Обратно, предположим, что

--- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:

(i)

для всех ;

(ii)

для всех .

Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств

и соответственно символами и , мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору

:

Соотношение (2) показывает, что отображение

полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив

мы обнаруживаем, что задание

равносильно заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить .

3.1.1 . Определение. Отображение

, обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в . Часто, в особенности при , говорят о линейном преобразовании. Матрица называется матрицей линейного отображения .

Пусть

, --- два линейных отображения с матрицами и . Тогда равенство равносильно совпадению значений для всех . В частности, , откуда и .

Резюмируем наши результаты:

3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями

в

и матрицами размера

существует взаимно однозначное соответствие.

Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях

произвольных множеств и . Условия (i), (ii) предполагают, что и --- подпространства арифметических линейных пространств , .

Обратим внимание на специальный случай

, когда линейное отображение , обычно называемое линейной функцией от переменных, задается скалярами :