Алгебраические группы матриц (стр. 3 из 9)
для некоторого 
, зависящего от 
, где 
--- аннулятор единицы в 
, 
--- некоторый многочлен из 
.Доказательство. а) Пусть
--- общее поле определения всех компонент 
группы 
. Пусть 
, 
содержат единицу 
, 
, 
--- их независимые общие точки над и , 
. Имеем специализации
над
, откуда 
, 
, 
. Этим доказана единственность компоненты 
.б) Очевидно, что отображения
являются гомеоморфизмами пространства
. Так как 
инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы 
.в) Пусть
. Тогда 
при фиксированном 
--- снова все компоненты группы . В частности, 
, 
. Этим доказано, что --- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .г) Если
--- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, 
. Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .д) Для каждого
возьмем многочлен
Пусть
--- точка из 
, в которой 
. Рассмотрим многочлен
Он искомый. В самом деле, очевидно,
. Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала 
). Остается доказать включение
Пусть
, 
. Имеем:
Если
, то 
, если же 
, 
, то 
. В любом случае 
. Следовательно, 
. Теорема доказана.Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа
алгебраической группы 
тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы 
.<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что
Конечная нормальная подгруппа
связной алгебраической группы 
всегда лежит в центре 
.
В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел
, то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать 
-порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).1.4. О 
-группах
Пусть
- поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из 
, выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в 
. Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с 
, некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области 
. В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.