Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 6 из 6)

Доказательство.

При любом

выполняется равенство

. (2)

Так как функция

непрерывна при и , по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что

(3)

Тогда из (2)

.

Так как

сходится равномерно, то при произвольном будет . В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:

в силу (3)

. Последнее означает, что

.

Так как левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная

. То есть справедлива формула (1).

Ч.т.д.

Следствие.

Если непрерывная функция

неотрицательная при и интеграл непрерывен по на , то имеет смысл формула (1).

Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле

.

Чаще всего такую перестановку сложно проделать.

Теоремы 2. Пусть функция неотрицательна и непрерывна при

, , интегралы и (*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.

Замечание.

Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по

и соответственно.

Пример. Проинтегрируем функцию

.

Имеем

. Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим , где - любое конечное число. По теореме т. 1 п. 3

.

Следовательно, интегрируя обе части равенства по

от 0 до , будем иметь

.

Но

(это равенство установлено для ; оно верно и при , если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного примет вид:

.

Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру

Теорема 1. Пусть функция

определена и непрерывна по на промежутке , . Она имеет там непрерывную частную производную , интеграл сходится при каждом на , а сходится равномерно. Тогда справедлива формула

. (*)

Доказательство.

Так как

непрерывна и сходится равномерно относительно на , то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1) и получим:

Откуда

. Производная правой части последнего равенства существует и равна , значит существует производная и у левой части, причем . Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).

Ч.т.д.