Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 5 из 6)

2. существует такая функция

, что , и .

3.

- сходится

НИЗП-2

сходится равномерно по на .

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Пример. Исследовать на равномерную сходимость интеграл

.

Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.

1.

определена и непрерывна в области ;

2. существует функция

, , для любого ;

3.

, то есть сходится.

Так как все условия выполнены, то интеграл

сходится равномерно относительно на любом промежутке .

Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.

В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:

Теорема 1. Пусть функция

, определенная на прямоугольнике , удовлетворяет условиям:

1. функция

по на промежутке ;

2.

равномерно стремится к при по , где ;

3. интеграл

сходится равномерно по на .

В результате справедливо равенство

(1)

Доказательство.

Функция

будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого найдется такое , что , для , но только . Переходя к пределу при под знаком интеграла, получим . Значит интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем

.

Если взять произвольное число

, зафиксировать число так, чтобы второе и третье слагаемые справа стали меньше , а затем приблизить к , чтобы первое слагаемое стало меньше . Тогда получим , что приводит к равенству (1).

Ч.т.д.

Следствие.

Пусть функция

неотрицательна и непрерывна по , при , и монотонно возрастая, стремится к с возрастанием . Если функция непрерывна и интегрируема на промежутке , то справедлива формула (1).

Простым следствием из теоремы 1 является теорема о непрерывности интеграла по параметру.

Теорема 2. Пусть функция

определена и непрерывна для значений и значений . Если сходится равномерно относительно на , тогда - непрерывная функция от параметра в этом промежутке.

Доказательство (аналогично теореме для собственных интегралов).

По теореме Кантора при

и функция равномерно непрерывна, а значит если - это любое фиксированное из значение, то наша функция равномерно, относительно , стремится к при . Так как сходится равномерно, то по т.1 следует

,

значит интеграл

- непрерывная функция.

Пункт 3. Интегрирование по параметру НИЗП

Чтобы выяснить интегрируема ли функция

по параметру, необходимо рассмотреть следующую теорему.

Теорема 1. Пусть функция

определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в множестве Если интеграл сходится равномерно по на , то справедлива формула

. (1)