Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:
Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1). Для того чтобы интеграл

сходился равномерно по переменной

на промежутке

, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

,

.
Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.
Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1). Пусть функция

определена и непрерывна на прямоугольнике

и удовлетворяет условиям:
1. непрерывна по переменной

,
2. существует функция

, что

,
3.

- сходится.
Из этого следует, что

сходится равномерно по

.
Доказательство.
В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:

(1)
Тогда при тех же

, что и в цепочке, получаем

.
А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла

.
Ч. т. д.
Замечание.
При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция

имеет интегрируемую мажоранту

или что интеграл

мажорируется сходящимся интегралом

.
Следствие.
Пусть выполняются следующие условия:
1. функция

определена и непрерывна по

;
2. функция

ограничена на прямоугольнике

;
3. интеграл

сходится, тогда следует, что

сходится равномерно по

.
Обозначим через

и возьмем в качестве

, а в качестве функции

. Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).
Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).
Пусть функция

определена в области

(a,b,c – конечные числа). Пусть при

несобственный интеграл

сходится. В этом случае

будет представлять собой функцию переменной (параметра)

, определенную в промежутке

. Утверждение, что несобственный интеграл

сходится при

, означает следующее. При каждом фиксированном

интеграл

(здесь

). Это значит, что для каждого

из

по любому

можно указать

такое, что при условии

выполняется

. Важно отметить, что число

выбирается по

, и для каждого

оно будет своим, другими словами,

зависит и от

, и от

:

. Если же можно указать такое

, зависящее только от

, такое, что при выполнении условия

будет верно

сразу для всех

, несобственный интеграл

называется
равномерно сходящимся относительно параметра. Короче говорят, интеграл

называется равномерно сходящимся по переменной

на

, если он сходится при

и выполняется цепочка

.
Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.
Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2). Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по

необходимо и достаточно, чтобы:

,

.
Теорема 4. Пусть функция

определена в области

и удовлетворяет следующим условиям:
1. функция

непрерывна по

, при

;