Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 3 из 6)

2.

, то есть , .

Доказательство.

Возьмем любую точку

и зафиксируем ее. Придадим приращение и точка . Тогда , ,

(1)

По теореме Лагранжа

. Следовательно,

. (2)

Переходя в (2) к пределу при

, приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

.

Из этого следует, что

существует, причем . Так как - любое , то существует для любого , причем .

Пример. Найти производную

функции .

1.

непрерывна на

2.

. Эта функция также непрерывна на .

3.

4.

Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла

Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру

функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.

Теорема. Если

непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то интегрируемая на промежутке функция и справедливо равенство , то есть .

Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом

.

Докажем более общее равенство.

для любого . (1)

В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t. Вычислим их производные по t. Так как

, то (т.4 п.2), а следовательно есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:

, . (2)

В правой части стоит интеграл

, где . Действительно функция удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.

Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

, . (3)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке

совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. .

. (4)

Положив в (4) t=c , получим

. Значит, будем иметь вместо (4) для любого

. (5)

Пусть в (5) t=d, получим

.

Что и требовалось получить.

Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция

определена и непрерывна на некотором прямоугольнике и при любом фиксированном существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен

.

В этом случае

называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).

Утверждение о том, что

сходится при каждом означает следующее: при каждом фиксированном

.

Следовательно,

или .

Это значит, что для каждого

по любому можно указать число такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от : . Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что при выполняется для , то в этом случае называется равномерно сходящимся относительно параметра

.