Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою (стр. 2 из 3)

Необхідність. Нехай U (t, x) є перший інтеграл системи (1). Тоді для будь-якого рішення x (t) цієї системи, застосовуючи лему 1 будемо мати тотожності

U

Звідки при t=t

одержимо рівність U (t справедливе при всіх значеннях t і x (t ). Необхідність доведена.

Достатність. Нехай тепер U

при всіх (t, x) Тоді для будь-якого рішення x (t) системи (1) на підставі леми 1 будемо мати тотожності

а з ним і достатність.

З визначення першого інтеграла треба, що постійна на G функція також є першим інтегралом системи (1). Перший інтеграл U (t, x) будемо називати на G, якщо при всіх (t, x)

виконується нерівність.

Функцію U (x) будемо називати стаціонарним першим інтегралом системи (1), якщо вона не залежить від t і є першим інтегралом системи (1).

Знайдемо перший інтеграл нашої системи:

Піднесемо до квадрата й виразимо з

y

Покладемо

, одержимо

Перевіримо, що функція

- це перший інтеграл системи (1), тобто перевіримо виконання тотожності (2)

Знайдемо похідні по t, x, y

Після вище зроблених перетворень одержуємо, що функція

- це перший інтеграл системи (1), 2) Покладемо , тобто , де , Q

3) Перевіримо виконання тотожності:

(3), де

Перетворимо (3).

[у нашім випадку ] =

=

[з огляду на всі зроблені позначення] =

=

=

=

[через те, що

котре у свою чергу як ми вже показали їсти тотожний нуль]

Таким чином, тотожність (3) щире.

4. Функція, що відбиває

Визначення. Розглянемо систему

(5)

вважає, що права частина якої безперервна й має безперервні частки похідні по

. Загальне рішення у формі Коші позначений через ). Через позначимо інтервал існування рішення . Нехай

функцією, що відбиває, системи (5) назвемо функцію

, обумовлену формулою

Для функції, що відбиває, справедливі властивості:для будь-якого рішення

системи (5) вірна тотожність

для функції, що відбиває, F будь-якої системи виконані тотожності

3) функція

буде функцією, що відбиває, системи (5) тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь у частинних похідних

і початковій умові

5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем

Одержуємо

де - будь-яка непарна безперервна функція.

Поряд з диференціальною системою

(1) розглянемо обурену систему (2), де - будь-яка безперервна непарна функція. Відомо по [3], що диференціальна система (3) еквівалентна обуреній системі (4), де безперервна скалярна непарна функція задовольняючому рівнянню

Тому що вище вже показано, що функція

де {є перший інтеграл} задовольняє цьому рівнянню, те справедлива наступна теорема.