Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом (стр. 3 из 4)

А теперь рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим систему

в которой непрерывные и

периодические функции , таковы, что и – нечётные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь

и , ,

.

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл

, которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения , рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

, (1)

, , , (2)

где

- непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции

, определённой в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как

- непрерывная нечётная функция, то и

при

Лемма 2

Пусть

есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к.

есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь

, получаем , что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть

– отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система

эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку

отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы )+ (равно по ) (4)

означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть

первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как

, то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.