Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 4 из 10)

будем рассматривать множество систем

где

непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем и .

Как известно, отражающая функция системы

обязана удовлетворять следующему соотношению

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Справедлива [4]

Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций

имеет место тождество

Доказательство.

Будем преобразовывать левую часть тождества

Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть

есть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство.

Подставив функцию

в выражение , придем к следующим тождествам:

Выразим из соотношения

частную производную , подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:

Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество

придем к следующим соотношениям:

Выразим из соотношения

выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:

Учитывая определение функции

, полученное тождество можно переписать в виде

Мы пришли к соотношению

Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение

, придем к нужному нам тождеству и тем самым докажем лемму.

Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть вектор-функция

является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущенная дифференциальная система

где произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Пусть

отражающая функция системы Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству

С этой целью введем функцию

по формуле . Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции

верно тождество

, имеют место соотношения

Поставим следующую задачу Коши для функции

:

Решение этой задачи существует и единственно [6, с.66]. Таким образом, имеет место тождество

влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция

дифференциальной системы является также и отражающей функцией дифференциальной системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции

, приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы

верно тождество , второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы .