Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений (стр. 2 из 10)

Необходимость очевидным образом следует из

периодичности решения .

Достаточность. Пусть

есть неподвижная точка отображения за период . Это означает, что

Функция

определена на некотором множестве, содержащем отрезок , и в силу периодичности системы является решением системы . Согласно оба решения и при совпадают. Так как решения системы однозначно определяются своими начальными условиями, то

.

Теорема доказана.

Таким образом, если при каком-то

удаётся отыскать отображение за период , то из уравнения будут найдены начальные данные всех периодических решений.

Создаётся впечатление, что отображение Пуанкаре можно найти только зная общее решение дифференциальной системы.

Для отыскания отображения Пуанкаре (отображение за период) можно использовать некоторые вспомогательные функции, которые не совпадая с общим решением

во всей области существования решения, совпадают с ним на гиперплоскостях, отличающихся на период. Если такая функция будет найдена, то будет найдено и отображение за период.

В.И. Мироненко в качестве такой функции использовал функцию

[2,3], которую назвал отображающей функцией. При известной отображающей функции периодической дифференциальной системы отображение за период определяется формулой

В дальнейшем будем полагать

, где половина периода.

Приведём теперь известные факты об отражающей функции [3,4].

§2. Общие сведения об отражающей функции

Рассмотрим систему

,

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по

. Общее решение в форме Коши обозначим через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы

назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения

системы верно тождество

для отражающей функции

любой системы выполнены тождества

дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Совокупность условия

и начального условия назовём основным соотношением для отражающей функции.

Как известно, в большинстве случаев система дифференциальных уравнений

не может быть проинтегрирована в элементарных функциях или в квадратурах. Это вынуждает исследовать решения системы по самим дифференциальным уравнениям.

Знание отражающей функции системы

позволяет решать вопросы существования, количества и начальные данные периодических решений системы.

Поскольку у разных дифференциальных систем может быть одна и та же отражающая функция, то с помощью отражающей функции можно заменить одну дифференциальную систему на качественно ей эквивалентную и более простую другую дифференциальную систему.

Пример.

Уравнение Рикатти

имеет отражающую функцию . Такую же отражающую функцию имеет и уравнение , которое значительно проще интегрируется в замкнутом виде, а значит проще и исследование свойств решений данного условия.

Приведём более точное понятие эквивалентности, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальных систем.

Эквивалентные системы.

Рассмотрим класс систем

считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида

образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами:

отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ;

любая система вида , отражающая функция которой совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида

, принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .