Многомерные пространства понятие и виды (стр. 7 из 17)
Пусть
– пересечение подпространств данных плоскостей 
и 
. Очевидно, S заключено в пределах: 
. Плоскость 
согласно предыдущему принадлежит как 
и 
.Обратно, любая общая точка и любой общий вектор плоскостей
и 
, очевидно, принадлежит этой плоскости. Таким образом, доказана следующая теорема.Теорема 1: Если плоскости
и имеют по крайней мере одну общую точку 
, то эти плоскости имеют общую плоскость , определяемую точкой и подпространством , где 
.Эта теорема, очевидно, справедлива также при S=0. В этом случае пересечением плоскостей будет одна точка.
Следствие: Имеет место неравенство
Пусть
и две плоскости, где 
и 
. Подпространство 
называется подпространством параллельности этих плоскостей. Число 
называется степенью параллельности данных плоскостей. Очевидно, 
. Если плоскости не имеют ни одной общей точки и s=k, т.е. если 
, то плоскости называются полностью параллельными. Если же плоскости не имеют ни одной общей точки и 
, то скрещивающимися.Из предыдущих определений следует, что возможны следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей
и ( 
).1º. Плоскости
и имеют единственную общую точку ( 
).2º. Плоскости
и пересекаются по некоторой плоскости 
, где k>s>0 (0<I<1).3º. Плоскость
принадлежит плоскости ( 
).4º. Плоскости
и частично параллельны, т.е. не имеют общих точек и 0<I<1.5º. Плоскости
и полностью параллельны, т.е. не имеют общих точек и I=1.6º. Плоскости
и скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и I=0.Следствие: При
имеет место неравенство 
.В трехмерном аффинном пространстве для данной пары плоскостей все шесть случаев не могут иметь места. Так, для прямой
и двумерной плоскости 
имеют место только случаи 1,3,5; для двух прямых и 
- случаи 1,3,5,6; для двух двумерных плоскостей 
и 
-2,3,5.а) Критерий пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями.
Пусть в системе
плоскости 
и 
заданы общими уравнениями: 
(1)Рассмотрим систему
, состоящую из всех векторов ( 
) уравнений систем(1). Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда система совместна, т.е. когда r=R, где r и R ранги основной и расширенной матриц этой системы. В этом случае уравнения системы являются уравнениями плоскости 
пересечения плоскостей и ; размерность этой плоскости равна n-r.Теорема2: Пусть в системе
плоскости и 
заданы системами уравнений (1). Если - система уравнений, состоящая из всех уравнений двух систем (1), а r и R – ранги основной и расширенной матриц этой системы, то плоскости 
и пересекаются тогда и только тогда, когда r=R. В этом случае размерность плоскости пересечения равна n-r.б) Критерий пересечения двух плоскостей, заданных точкой и подпространством.
Теорема 3: Пусть
и 
- две плоскости, 
и 
их векторные подпространства, а 
- сумма и 
. Для того, чтобы плоскости 
и 
пересекались, необходимо и достаточно, чтобы существовали точки и 
, удовлетворяющие условиям: 
(2).