Многомерные пространства понятие и виды (стр. 4 из 17)

+2 + =0 (1)

Переход к другой аффинной системе координат (к другому реперу R´={O´,

) можно выполнить в два приема:

а) перенос начала: от репера R переходим к реперу

={O´, с теми же координатными векторами . При этом коэффициенты квадратичной формы не изменяются ,тогда как коэффициенты и свободный член вообще изменяются;

б) замена базиса {

на базис { } в пространстве переносов V: =

При этом старые координаты

любой точки M выражаются через ее новые координаты с помощью системы уравнений : = Внесем эти выражения в уравнение (1), получим уравнение квадрики Q в новых координатах :

+2 + =0, (2)

Следовательно, при замене базиса {

изменяются коэффициенты квадратичной формы и коэффициенты но не меняется свободный член . При любом преобразовании аффинной системы координат ранг и индекс квадратичной формы не меняются.

Уравнение квадрики, имеющей хотя бы один центр имеет вид:

( + +…+ + =0 . (

Уравнение квадрики, не имеющей центра

( +…+ ( +2b =0 . ( )

Рассмотрим уравнение (

. Возможны следующие частные случаи:

1. r=n. Уравнение определяет центральную квадрику (с центром в точке

=0).

А)

- центр не лежит на квадрике. Пусть =- , приведем уравнение ( ) к каноническому виду:

( =1 (3)

Если в уравнении (3) все коэффициенты положительны, , то, обозначив = , получим нормальное уравнение эллипсоида:

(

+ ( +… +( =1.

) В уравнении (3) все . Обозначив = , получим нормальное уравнение мнимого эллипсоида (не содержит ни одной точки из ):

(

+ ( +… +( =-1;

) В уравнении (3): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…n). Такая квадрика называется гиперболоидом индекса l. Полагая , , найдем нормальное уравнение этой квадрики: + +…+ -…- =1.

Б)

=0- центр лежит на квадрике. Ее каноническое уравнение: =0 ( = ). (4)

Квадрика называется конусом с вершиной в точке О.

) Все имеют одинаковые знаки. Квадрика называется мнимым конусом (квадрика содержит лишь одну точку О ). В этом случае уравнение (4) приводится к виду:

+…+ =0.

В уравнении (4): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…,n). Квадрика Q называется конусом индекса l ,если l n-l,т.е. l .

2. r

n.Система уравнений, определяющих центр: =0 (t=1,2,…,r); учитывая что ). Значит, множество центров – (n-r)-мерная координатная плоскость .