Многомерные пространства понятие и виды (стр. 3 из 17)
Пусть
– координаты точки М в репере R и 
– координаты этой же точки в репере R´. Учитывая (5), запишем равенство (6) в виде: 
= 
+ 
.Используя (
, получим:
= + 
Отсюда в силу линейной независимости векторов 
:
= 
, det 
(7)Равенства (7) выражают старые координаты точки М через ее новые координаты и представляют собой формулы преобразования координат точки М
Е.Пусть Е- n-мерное аффинное пространство над полем К, V-пространство переносов. Если взять точку О, то по первой аксиоме Вейля отображение
:E 
V по закону 
(М)= 
является биекцией.С помощью этой биекции можно отождествить аффинное пространство E и векторное пространство V (отождествить каждую точку М
Е с ее радиус-вектором 
V).Квадрики в аффинном пространстве.
Квадрикой (или поверхностью второго порядка) Q в аффинном пространстве
называется место точек этого пространства, координаты которых в каком–либо аффинном репере R={O, 
} удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:
+2 
+ 
=0. (1)Перенесем начало координат в точку
( 
, т.е. перейдем к реперу R´={ 
}. Формулы преобразования координат при этом имеют вид:
= 
+ 
где
-старые, а - новые координаты точки M .Уравнение квадрики в новых координатах примет вид:
( + 
)( 
+ 
)+2 
( + )+ =0 или 
+2 
+ 
=0, (2) где 
= 
+ 
= 
+2 
+ (3)Центром квадрики Q называется ее центр симметрии.
Если в уравнении (2)
=0 (i=1,2,…,n) и М( 
то и М´(- 
) Q и ,значит, - центр квадрики Q.Верно и обратно: если
- центр квадрики Q, то в уравнении(2) не будет членов с первыми степенями : =0.Пусть
- центр квадрики Q и M( 
и, следовательно, координаты 
точки M удовлетворяют уравнению (2). Тогда и M´(- ) 
: 
-2 
+ 
=0 . (4)Вычитая равенство (4) из равенства (2), находим
=0 . (5)Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M
.Теорема. Точка
является центром квадрики (1) тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений: 
+ 
=0. (6)При решении системы (6) встречаются три случая.
1. det
0,т.е. ранг =n. Система (6) имеет единственное решение, и, значит, квадрика Q –единственный центр. Такая квадрика называется центральной.2. det
=0,но ранг = ранг 
=r. Система (6) совместна,и в ней можно оставить лишь r
n линейно независимых уравнений. Они определяют (n-r)-плоскость (плоскость центров), каждая точка которой служит центром квадрики.3.det
=0,но ранг 
ранг 
. Система (6) несовместна,- квадрикаQ не имеет центра.В случае 2 и 3 квадрика называется нецентральной.
Классификация квадрик в аффинном пространстве.
Пусть относительно репера R={O,
квадрика Q определяется уравнением: