Исследование зависимости между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм (стр. 1 из 6)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г.ШУХОВА
Кафедра Экономики и Организации производства
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»
Студентка: гр.ЭКд-21В
Н.В. Гребенникова
Руководитель: к.т.н., доц.
О.В.Доможирова
Белгород 2009
ЧАСТЬ 1
Постановка задачи
Для производства двух видов продукции А и Б используются три типа ресурсов. Нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции каждого вида, цена единицы продукции каждого вида, а также запасы ресурсов, которые могут быть использованы предприятием, приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
| Типы ресурсов | Нормы затрат ресурсов на единицу продукции | Запасы ресурсов | |
| А | Б | ||
| Электроэнергия | 1 | 7 | 24 |
| Сырье | 2 | 2 | 24 |
| Оборудование | 9 | 2 | 16 |
| Цена ед. продукции | 15 | 20 | |
| Прибыль ед продукц | 3 | 9 | |
Требуется:
I. Cформулировать экономико-математическую модель задачи в виде ОЗЛП.
II. Привести ОЗЛП к канонической форме.
III. Сформулировать экономико-математическую модель задачи двойственной к исходной.
IV. Построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом.
V. Решить задачу с помощью симплекс-таблиц.
Решение:
I. Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом
а) целевая функция
б) ограничения:
в) условия неотрицательности переменных х1≥0 ; х2≥0.
II. Приведем ОЗЛП к канонической форме. Для этого введем дополнительные переменные x3, x4 и x5.
а) целевая функция
б) ограничения:
в) условия неотрицательности переменных
III. Сформулируем экономико-математическую модель задачи двойственную к исходной. Матрица В условий прямой задачи и матрица В’ – транспонированная матрица В – имеют следующий вид:
| 1 | 7 | 24 | 1 | 2 | 9 | 3 | |||
| B= | 2 | 2 | 24 | B’= | 7 | 2 | 2 | 9 | |
| 9 | 2 | 16 | 24 | 24 | 16 | Zmin | |||
| 3 | 9 | Fmax |
В двойственной задаче нужно найти минимум функции
Z = 24y1 + 24y2 +16y3, при ограничениях
Систему ограничений-неравенств двойственной задачи обратим в систему уравнений:
Компоненты у1, у2, у3 оптимального решения двойственной задачи оценивают добавочные переменные х3, х4, х5 прямой задачи.
1) х1+7х2≥24 (0;3,43) (24;0)
2) 2х1+2х2≥24 (0;12) (12;0)
3) 9х1+2х2≥16 (0:8) (1,78;0)
Однако нам необходимо найти такую точку, в которой достигался бы max целевой функции.
Оптимальную производственную программу можно найти двумя способами:
1) путем перебора его вершин
Находим координаты вершин многоугольника ABCDE и подставляя в целевую функцию находим ее значение.
А: А (0; 0) Z(A) =3×0+9×0=0
В: В (0; 3,43) Z(B) = 3×0+9×3,43=30,87
D: D (1,78; 0) Z(B) = 3×1,78+9×8=5,38
С: – это пересечение первого и второго уравнений
; 
;216 -63x2+2x2=16; x2=1,04.С (1,04; 3,28) Z(C) = 3×1,04+9×3,28=32,64
Находим max значение целевой функции. Оно находится в точке
С (1,04; 3,28). Таким образом max прибыль составит 32,68у.д.е. при выпуске продукта Р в количестве 1,04 у.е. и R – 3,28 у.е.
2) геометрическим способом
Целевая функция геометрически изображается с помощью прямой уровня, т.е. прямой на которой Z=3X1+9X2 – принимает постоянное значение.
Если С – произвольная const, то уравнение прямой имеет вид
3X1+9X2=С
При изменении const С получаем различные прямые, параллельные друг другу. При увеличении С прямая уровня перемещается в направлении наискорейшего возрастания функции Z, т.е. в направлении ее градиента. Вектор градиента
Точкой min Z будет точка первого касания линии уровня с допустимым многоугольником. Точкой max – точка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника. Эти точки чаще всего совпадают с некоторыми вершинами допустимого многоугольника, хотя их может быть и бесчисленное множество, если линия уровня Z параллельна одной из сторон допустимого многоугольника. Это точка С (1,04; 3,28) Z=32,68 у.д.е.
Решим задачу с помощью симплекс-таблиц.
Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции P и R.
1. Построим оптимизационную модель:
F(X)=3X1+9X2→max
2. Преобразуем задачу в приведенную каноническую форму. Для этого введем дополнительные переменные X3, X4 и X5.
F(X)=3X1+9X2→max
Построим исходную симплекс-таблицу и найдем начальное базисное решение.
| Баз. пер. | Своб. член | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 |
| Х3 | 24 | 1 | 7 | 1 | 0 | 0 |
| Х4 | 24 | 2 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| Х5 | 16 | 9 | 2 | 0 | 0 | 1 |
| F | 0 | – 3 | – 9 | 0 | 0 | 0 |
Базисное решение (0; 0; 24;24; 16). F=0.
Находим генеральный столбец и генеральную строку
. Генеральный элемент 7 | Баз. пер. | Своб. член | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 |
| Х3 | 3,23 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| Х2 | 17,14 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| Х5 | 9,14 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| F | 30,86 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Базисное решение (0; 8; 4; 0; 10). F=40.
2,22222. Генеральный элемент 1,8. | Баз. пер. | Своб. член | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 |
| Х1 | 2,22 | 1 | 0 | 0,55 | 1,11 | 0 |
| Х2 | 7,56 | 0 | 1 | -0,11 | 1,77 | 0 |
| Х5 | 2,74 | 0 | 0 | 1,82 | 5,63 | 1 |
| F | 46,65 | 0 | 0 | -1,665 | -13,3 | 0 |
Базисное решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74). F=46,65.
Эта таблица является последней, по ней читаем ответ задачи. Оптимальным будет решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74), при котором Fmax =46,65, т.е. для получения наибольшей прибыли, равной 46,65 денежных единиц, предприятие должно выпустить 2,22 единиц продукции вида P и 7,56 единиц продукции вида R, при этом ресурсы A и B будут использованы полностью, а 2,74 единиц ресурса С останутся неизрасходованными.
ЧАСТЬ 2
Постановка задачи
Исследовать зависимость между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки. Для построения модели собраны данные по исследуемым переменным на 12-ти предприятиях объединения.
Предполагая, что зависимость между переменными имеет линейный характер, анализ провести в следующей последовательности:
а) построить уравнение регрессии
;б) построить уравнение регрессии
;в) исследовать модели
, 
и сделать соответствующие выводы;г) построить уравнение регрессии
и выполнить исследование множественной модели в полном объеме (см.п.3.2).Решение:
А). Строим уравнение регрессии 
;
1. Экономическая теория и расположение точек на диаграмме рассеяния (Приложение 2) позволяют предположить линейную связь между переменными
СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Диаграмма рассеяния, отражающая зависимость производства от капиталовложений.