Интегралы, зависящие от параметра (стр. 3 из 6)

2.2 Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b]

R, Y- любое множество,

а [а; b] х Y = {(х, у): х

[а; b], у Y}. Предположим, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].

Определение 2.7 Функцию

(2.1)

определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем

называть собственным интегралом, зависящим от параметра.

Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:

У = [с; d]

R, и введя обозначение

П [а b] х [с; d] = {(х, у): х

[а; b], у [с; d]}.

Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].

Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое

[с; d] и

любое

> 0 и покажем, что найдётся > 0 такое, что если у [с; d] и

, то будет выполняться неравенство

Прямоугольник П — компактное множество в

, поэтому по теореме

Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному

>0 можно указать такое > 0, что если

то будет выполняться неравенство

Положим х' = х"= х, у' = у, у" =

. Тогда

Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от

) непрерывность функции I(у) на

отрезке [а; b].■

Теорема 2.8 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

(2.2)

Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство

же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повтор-

ному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует

, который может быть сведен к повторному в любом порядке. ■

Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную

на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

(2.3)

Доказательство. Так как

непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у [с; d] можем написать равенство

(2.4)

Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-

Лейбница.

Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства

(2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:

(2.5)

По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по

теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на

отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:

что и требовалось. ■

Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у

[с; d],

функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и

[с; d] выполняется

а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл

(2.6)

Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у),

b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством

(2.6), непрерывна на [с; d].

Доказательство. Пусть y

[с; d]. Покажем, что Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.

(2.7)

Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый

из них в отдельности.

Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида

2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому

Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что

П. Но тогда

А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то

при

, поэтому

Совершенно аналогично доказывается, что и

Таким образом,

что и требовалось доказать. ■

Теорема 2.11 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и

имеет на нём непрерывную частную производную

, а функции а(у) и

b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле

(2.8)

Доказательство. Поскольку дифференцируемость на промежутке есть

дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём

на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке , и что представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое

правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную.

Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы

интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.

Поэтому

(2.9)

Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что

.)

По определению производной

Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству

определённого интеграла найдётся с = с(у),

, такое, что