Интегралы, зависящие от параметра (стр. 2 из 6)

аналогично. ■

Теорема 2.4 (Дирихле) Пусть функции f, g:

и интегрируемы по Риману

на [а; А] при любом А > а. Тогда

сходится, если выполнены следующие

два условия:

1)

ограничен на [а; +∞);

2) функция g(x) монотонно стремится к нулю при

Доказательство. По первому условию существует постоянная М такая,

что

. По второму условию такое, что при А > будет выполняться неравенство . По второму же условию функцию g(x) можно считать неотрицательной. Возьмём и применим к интегралу вторую теорему о среднем значении (формулу Боннэ), согласно которой найдётся такое, что

Но тогда, поскольку

справедлива оценка

для любых А’, А” >

. По критерию Коши интеграл сходится. ■

Теорема 2.5 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞)→R и интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а. Тогда

сходится, если выполнены следующие два условия:

1)

сходится;

2) функция g(x) монотонна и ограничена на [а; +∞).

Доказательство. В силу второго условия существует

.

Тогда

Первый из интегралов справа сходится по признаку Дирихле, поскольку

монотонно стремится к нулю при х→+∞, а второй сходится в силу условия 1 доказываемой теоремы. ■

Замечание 2.2 При доказательстве теоремы Абеля было использовано очевидное свойство

несобственных интегралов: если сходятся интегралы

и , то сходится и , при этом

= +

Пример 2.3 Вернемся к рассмотренным выше примерам

Решение. По признаку Дирихле эти интегралы сходятся при р > 0, поскольку при этом условии дробь

↓ 0, а интегралы очевидно, ограничены. ■

Пример 2.4 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл сходится по признаку Абеля. Действительно,

сходимость интеграла

установлена в предыдущем примере, а

функция arctg х монотонна и ограничена. ■

Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция f : (а; b] →R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b] при любом 0<δ<b-a.

Формальное выражение

назовём несобственным интегралом второго рода.

Определение 2.4 Несобственный интеграл второго рода назовём сходящимся, если существует

В этом случае будем говорить, что число I являемся значением интеграла и писать

Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

Аналогично определяется

если функция f определена на [а; b), интегрируема на [а; b-ξ] при любом 0<δ<b-a и неограниченна в окрестности точки b.

Если же функция f определена на [а; b]&bsol;{c}, а < с < b, неограниченна в окрестности точки с, но интегрируема на отрезках [а; с-δ] и [с-δ; b] при любом допустимом положительном δ, то определим

Пример 2.5

сходится при р<1 и расходится при р .

Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b]

при любом О<δ<δ-a, то

сходится тогда и только тогда, когда такое, что а’, а” : а <а’, а” < а + δ. Будет выполняться условие

Это утверждение доказывается так же, как и аналогичное утверждение

для несобственных интегралов первого рода. Так же вводится понятие

абсолютной и условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса.

Интегралы в смысле главного значения

Определение 2.5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл

не существует. Тогда, если существует

, мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом

(

p.)

Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]&bsol;{с} → R, а <с < b, неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках

[а; с — δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но

не существует. Тогда, если существует

то он называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом

(

p.)

Пример 2.6 Рассмотрим

Решение. Это — расходящийся интеграл второго рода, поскольку показатель степени p =1. Однако

Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и

(

p.) ■

Пример 2.7 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~

. Но

Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и ( p.) ■