Решение дифференциального уравнения первого порядка (стр. 2 из 2)
Для этого вторую формулу умножим на
, а третью – на 
и сложим с первой. Будем иметь: 
Таким образом, с точностью до
имеем приближённую формулу 
(3)Можно показать, что остаточный член формулы (3) равен
где 
Аналогично имеем:
и 
Отсюда
С другой стороны
Поэтому
Таким образом, с точностью до h5
имеем приближённую формулу 
(4)Можно доказать, что остаточный член формулы (4) есть
где
К формулам (3) и (4) присоединим выражения для производных:
(5) 
(6)Процесс численного дифференцирования уравнения (1) при наличии начального условия (2), использющий формулы (3) и (4), происходит следующим образом. Каким-либо методом вычисляем три начальные строки (начальная таблица):
Из формулы (4) при i=2 получаем первое приближение для
: 
(7)и, пользуясь формулами (5) и (6), находим для соответствующих производных
и 
их первые приближения: 
и 
.Второе приближение для
определяем при i=2 из формулы (3): 
(8)После этого исправляем значения производных
и , подсчитывая их вторые приближения: 
и 
.Для контроля ещё раз вычисляем по формуле (3) третье приближение
значения , используя найденные значения 
и 
.Если шаг h выбран подходящим, то перещёт не даёт нового результата, и в этом случае можно положить
В противном случае следует уменьшить шаг. Аналогично находятся дальнейшие значения
при i>3.Для получения начальных значений
и 
обычно используют метод последовательных приближений или метод Рунге-Кутта, после чего нужные производные 
и 
(i=0,1,2) определяются по формулам (5) и (6).Можна также применить следующий приём: сначала, используя данное начальное значение
, непосредственно вычисляем 
и 
.Тем самым будет заполнена первая строка начальной таблицы .
Далее на основании формулы Тейлера приближённо получаем
и, следовательно, можно будит найти
и 
.Пользуясь этими данными, уточняем значение
по формуле (3): 
и затем перевычисляем значения
и 
. Тем самым заполняем вторую строку начальной таблицы. Аналогично, исходя из второй строки, находим элементы 
, 
и 
последней, третей строки начальной таблицы.Отметим, что если пересчёты элементов строк дают значительные расхождения, то этот приём не является надёжным. В таком случае следует или уменьшить шаг h вычислений, или же обратиться к более точным методам.
В заключение приведём формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, но требующие вычисления, кроме второй, ещё и третьей производной искомого решения. А именно, используя Формулу Тейлера и употребляя приём, аналогичный указанному выше, получаем формулы
, (11)где
, и 
, (12)где
.Формула (11) употребляется для нахождения первого приближения
; формула (12) даёт уточнённое значение 
. Само собой разумеется, что к последним двум формулам целесообразно прибегать тогда, когда форма дифференциального уравнения позволяет сравнительно просто находить вторую и третью производные от искомой функции y.Приложение
program proizw_w_p;
uses crt;
const epsilon=0.05;
type mas=array[1..100] of real;
nabl=array [1..3] of real;
var i:integer;
x,y,y1,y2:mas;
nabl1,nabl2,nabl3:nabl;
a,h:real;
n:integer;
function f(x, y:real):real;
begin
f:=sqr(x)-sqr(y);
end;
procedure metod(xi, yi, step: real; var rez:real);
var k1, k2, k3, k4:real;
begin
k1:=F(xi,yi);
k2:=F(xi+step/2,yi+k1*step/2);
k3:=F(xi+step/2,yi+k2*step/2);
k4:=F(xi+step,yi+k3*step);
rez:=yi+(step/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)
end;
procedure osn_metod(xi, yi, step:real;var yh22:real;var h:real);
var yh,yh2:real;
begin
repeat
metod(xi, yi,step, yh);
metod(xi, yi, step/2, yh2);
metod(xi, yh2, step/2, yh22);
if abs(yh-yh22)/15>epsilon then step:=h/2;
until abs(yh-yh22)/15<epsilon;
end;
procedure iteraziya(j:integer;xi,h:real);
begin
{первое приближение}
nabl1[1]:=y[j-3]+3*(y[j-1]-y[j-2])+sqr(h)*y2[j-1]-y2[j-2];
{производная первого приближения}
nabl1[2]:=sqr(xi)-sqr(nabl1[1]);
{вторая производная первого приближение}
nabl1[3]:=2*(xi-nabl1[1]*nabl1[2]);
{второе приближение}
nabl2[1]:=y[j-1]+(h/2)*(y1[j-1]+nabl1[2])+((sqr(h))/12)*(nabl1[3]-y2[j-1]);
{производная второго приближения}
nabl2[2]:=sqr(xi)-sqr(nabl2[1]);
{вторая производная второго приближения}
nabl2[3]:=2*(xi-nabl2[1]*nabl2[2]);
{третье приближение}
nabl3[1]:=y[j-1]+(h/2)*(y1[j-1]+nabl2[2])-(sqr(h)/12)*(nabl2[3]-y2[j-1]);
{производная третьего приближения}
nabl3[2]:=sqr(xi)-sqr(nabl3[1]);
{вторая производная третьего приближения}
nabl3[3]:=2*(xi-nabl2[1]*nabl2[2]);
end;
procedure solution(h:real);
begin
{==============Метод Рунге-Кута =================================}
a:=0;
i:=1;
y[1]:=1;
while i<4 do
begin
x[i+1]:=a+i*h;
osn_metod(x[i], y[i], h,y[i+1], h);
inc(i);
end;
{======Окончание метода Рунге-Кута =================================}
{============найдем первые и вторые производные===============}
for i:=1 to 3 do
begin
y1[i]:=sqr(x[i])-sqr(y[i]);
y2[i]:=2*(x[i]-y[i]*y1[i]);
end;
{=================================================================}
for i:=4 to n do
begin
iteraziya(i,x[i],h);
if abs(nabl3[1]-nabl2[1])<epsilon
then
begin
y[i]:=nabl3[1];
y1[i]:=nabl3[2];
y2[i]:=nabl3[3];
end
else
begin
h:=h/2;
if keypressed then halt;
solution(h);
end;
end;
end;
BEGIN
{=====================init==========================================}
clrscr;
write('введите количество значений, которые необходимо вычислить n= ');
readln(n);
h:=0.1;
{==================end of init=========================================}
for i:=1 to n do
begin
x[i]:=(i-1)*h;
end;
solution(h);
for i:=1 to n do
begin
write('y[',i,']= ',y[i],' y"[',i,']= ',y1[i],' y""[',i,']= ',y2[i]);
writeln;
end;
writeln('');
writeln('');
write('Press <enter> to exit....');
readln;
END.