Теоремы Генки механика деформируемого твердого тела (стр. 1 из 5)
Содержание.
Введение………………………………………………………………… 3
1. Основные уравнения………………………………………………. 4
1.1. Общие положения……………………………………………… 4
1.2. Основные уравнения………………………………………….. 4
1.3. Линии скольжения……………………………………………. 6
1.4. Состояние текучести…………………………………………. 7
1.5. Полуобратный метод………………………………………… 8
2. Линии скольжения, их свойства………………………………… 9
2.1. Характеристические линии………………………………… 9
2.2. Свойства линий скольжения………………………………. 13
Введение.
Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесяти годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и М. Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.
В последующие годы развитие теории пластичности протекало вяло. Некоторое оживление наступило в начале XX века, когда были опубликованы работы Хаара и Кармана (1909 г.) и Р. Мизеса (1913 г.). В первой из них сделана попытка получить уравнения теории пластичности исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано новое условие текучести (условие постоянства интенсивности касательных напряжений).
Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается, вначале – преимущественно в Германии. В работах Г. Генки, Л. Прандтля, Р. Мизеса и других авторов были получены важные результаты как по основным уравнениям теории пластичности, так и по методам решения плоской задачи. К этому времени относятся и первые систематические экспериментальные исследования законов пластической деформации при сложном напряженном состоянии, а также первые успешные приложения теории пластичности к техническим вопросам. Уже с тридцатых годов теория пластичности привлекает внимание широкого круга ученых и инженеров; развертываются интенсивные теоретические и экспериментальные исследования во многих странах. Теория пластичности наряду с газовой динамикой становится наиболее энергично развивающимся разделом механики сплошных тел.
1. Основные уравнения.
1.1. Общие положения. При плоской деформации перемещения частиц тела параллельны плоскости
и не зависят от 
: 
. (1)Подобное состояние возникает в длинных призматических телах при нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от
.Как обычно, считаем тело изотропным и однородным. В любом сечении
будет одна и та же картина напряженного и деформированного состояний; компоненты напряжения зависят только от , причем 
равны нулю из-за отсутствия соответствующих сдвигов. Таким образом, 
является одним из главных напряжений.В теории упругости приведенные условия достаточны для формулировки проблемы плоской деформации. В теории пластичности необходимы дополнительные упрощения, так как иначе невозможно получить приемлемую математическую формулировку вопроса.
В дальнейшем используется схема жесткопластического тела. Эта концепция вносит погрешность, которую трудно оценить. Однако сколько-нибудь последовательный анализ плоской задачи затруднителен, если отказаться от схемы жесткопластического тела.
Гораздо целесообразнее исходить из схемы жесткопластического тела, которая позволяет одновременно рассматривать поле напряжений и поле смещений, связывая последнее со смещениями жестких областей. Тем самым строится в известном смысле и приближенное решение упругопластических задач.
1.2. Основные уравнения. Из (1) вытекает, что
. Вследствие пренебрежения упругими деформациями 
, (2)откуда
. (3)Как уже отмечалось,
является одним из главных напряжений. Остальные главные напряжения 
являются корнями квадратного уравнения 
.Отсюда
. (4)Очевидно, что
- среднее главное напряжение, тогда максимальное касательное напряжение будет 
.Интенсивность касательных напряжений также равна
. (5)Таким образом, главные напряжения равны
,т. е. напряженное состояние в каждой точке характеризуется наложением гидростатического давления 
на напряжение чистого сдвига 
(рис. 1).
Рис. 1. Значения косинусов, определяющих первое (пусть
) главное направление, находятся из системы 
Исключая
, получаем: 
. (6)Направления площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, составляют угол
с главным направлением.1.3. Линии скольжения. Линия скольжения – линия, в каждой точке своей касающаяся площадки максимального касательного напряжения. Очевидно, что имеются два ортогональных семейства линий скольжения, характеризуемые уравнениями:
, 
, 
где 
- некоторые параметры. Линии первого семейства ( 
-линии) соответствуют фиксированным значениям параметра 
; вдоль 
– линии постоянен параметр . Линия отклоняется вправо от первого главного направления на 450 (рис. 2); линия отклоняется влево от первого главного направления на тот же угол.Рис. 2.
Условимся фиксировать направления линий
так, чтобы они образовывали правую систему координат; при этом касательное напряжение положительно (рис. 2). Угол наклона касательной к линии , отсчитываемый в положительном направлении от оси 
, обозначим через 
.Дифференциальные уравнения семейств
соответственно будут 
. (7) 
Линии скольжения покрывают область ортогональной сеткой. Бесконечно малый элемент, выделенный линиями скольжения, испытывает одинаковое растяжение в направлениях линий скольжения (рис. 3).Рис. 3.
1.4. Состояние текучести. Пусть среда находится в состоянии идеальной пластичности. Тогда должно выполняться условие текучести