Теоремы Генки механика деформируемого твердого тела (стр. 4 из 5)

По доказанному вдоль каждого из прямолинейных отрезков оба параметра

, постоянны; так как параметр принимает постоянное значение вдоль каждой – линии, то во всей области .

6) Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину. В самом деле, рассмотрим линии скольжения

, . Эволюта (геометрическое место центров кривизны) какой-либо кривой является огибающей семейства нормалей к кривой. Очевидно, что линии скольжения и имеют одну и ту же эволюту . Как известно, исходная кривая может быть построена путем разматывания нити с эволюты. Но тогда при вычерчивании кривой нить будет короче на отрезок , чем при вычерчивании кривой .

7) Будем передвигаться вдоль некоторой лини скольжения; тогда радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точках пересечения изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема Генки).

Радиусы кривизны

, линий , определяются соотношениями

, . (19)

Радиус кривизны

( ) положителен, если центр кривизны находится в направлении возрастания (возрастания ). Рассмотрим бесконечно близкие линии семейств , , ограничивающие элемент скольжения (рис. 8). Очевидно, что

.

Вычислим производную от

вдоль линии :

.

По доказанному угол

между двумя линиями постоянен, следовательно,

, . (20)

Второе соотношение выводится подобно первому.

Точки пересечения

, нормалей , и , являются центрами кривизны соответственно линий , в точке .

Радиус кривизны

– линии в точке равен сумме радиуса кривизны – линии в точке и длины дуги (рис. 9).

Рис. 8. Рис. 9.

Теорема Генки может быть представлена также и в другой форме (Прандтль): центры кривизны

– линий в точках пересечения с линией образуют эвольвенту линии .

8) Теорема Генки показывает, что радиус кривизны линий скольжения

при движении в сторону их вогнутости уменьшается.

Если пластическое состояние простирается достаточно далеко, то радиус кривизны линий

должен обратиться в нуль, что отвечает пересечению эвольвенты с линией скольжения . При этом линия семейства имеет в точке острие. Кроме того, из построения (рис. 9) ясно, что в точке бесконечно близкие линии скольжения , сходятся. Точка принадлежит огибающей линий скольжения семейства . Таким образом, огибающая линий скольжения одного семейства есть геометрическое место точек возврата линий скольжения второго семейства.

Имея в

точку возврата, линии скольжения не могут пересечь огибающую. Другими словами, огибающая является границей аналитического решения.

Пусть – огибающая – линий. Проведем в некоторой ее точке локальную систему координат , (рис. 10). Из соотношений (19) вытекает, что в точке производная ограничена, а обращается в бесконечность, так Рис. 10.

как для линий

на огибающей радиус кривизны . Но тогда из дифференциальных уравнений равновесия (15) заключаем, что ограничена, а . Итак, вдоль огибающей нормальная производная среднего давления

обращается в бесконечность.