Обобщ нно булевы решетки (стр. 7 из 7)
(*).Докажем, что дополнения левой и правой частей выражения (*) до верхней грани
совпадают.Нетрудно заметить, что дополнением правой части выражения (*) до элемента
будет являться элемент 
.Покажем это:
, по определению относительного дополнения элемента 
( 
), где за 
приняли элемент 
, а элемент 
за 
. 
, по определению относительного дополнения элемента ( 
) , где за 
приняли элемент 
, а элемент за 
.Покажем, что и для левой части (*) элемент
будет являться относительным дополнением до верхней грани 
: 
, т.к. 
. 
Мы показали, что дополнения элементов
и 
до верхней грани 
совпадают, следовательно, в силу единственности дополнения 
. А значит и 
, т.е. дистрибутивность доказана.Таким образом, для
все аксиомы кольца выполняются.Заметим, что
выполняется в силу того, что 
, а в решётке 
.Также выполняется
, потому что 
.Таким образом,
- булево кольцо.Доказательство (2). Частичную упорядоченность
имеем исходя из того, что исходное булево кольцо 
- частично упорядоченное множество. Кроме того 
- решётка, т.к. 
существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами: 
и 
.Покажем, что решётка дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество
(*)Рассмотрим левую часть выражения (*):
.Рассмотрим правую часть выражения (*):
,т.о. тождество
верно, т.е. решётка 
является дистрибутивной.Покажем, что у каждого элемента
в дистрибутивной решётке есть относительное дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы 
, но они так же должны являться элементами решётки , следовательно, в ней должны лежать и 
, которым в кольце соответствуют 
.Рассмотрим элемент булева кольца
(в решётке лежит соответствующий ему элемент), заметим, что 
и
.Поэтому элемент
будет являться в дистрибутивной решётке относительным дополнением 
до верхней грани 
.Таким образом,
будет являться дистрибутивной решёткой с относительными дополнениями (обобщённой булевой).Библиографический список
1. Гретцер, Г. Общая теория решёток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982.
2. Биркгоф, Г. Теория решёток [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: Наука, 1984.
3. Скорняков, Л.А. Элементы алгебры [Текст] / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1989.