Обобщ нно булевы решетки (стр. 6 из 7)
4. Существование противоположного элемента, т.е.
, 
, 
;5. Ассоциативность умножения:
, 
;6. Закон дистрибутивности.
Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:
1. Относительным дополнением до
элемента 
будет элемент 
, а относительным дополнением 
элемент 
. В силу того, что 
, а так же единственности дополнения имеем 
.2. Покажем, что
. 
Рассмотрим все возможные группы вариантов:1) Пусть
, тогда 
(Далее везде под элементом x будем понимать сумму 
).Аналогично получаем
в случаях 
, 
, 
, 
и 
. Заметим, что когда один из элементов равен нулю (например, c), то получаем тривиальные варианты (a+b=a+b).2) Пусть
, а элемент c не сравним с ними. Возможны следующие варианты: 
Нетрудно заметить, что во всех этих случаях
, кроме того:если c=a+b, то (a+b)+c=0=a+(b+c);
если c=0, то получаем тривиальный вариант.
Вариант, когда c равен наибольшему элементу решётки d, мы уже рассматривали.
Если c=b, то (a+b)+c=(a+b)+b=a и a+(b+c)=a+(b+b)=a.
Если c=a, то (a+b)+c=(a+b)+a=b и a+(b+c)=a+(b+a)=b.
Аналогично для случаев 
, 
, 
, 
и 
.3) Под элементами нижнего уровня будем понимать элементы
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют нижний трёхмерный куб.Под элементами верхнего уровня будем понимать элементы
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют верхний трёхмерный куб.Под фразой «элемент верхнего уровня, полученный из элемента
нижнего уровня сдвигом по соответствующему ребру» будем понимать элемент 
верхнего уровня.Пусть a, b, c несравнимы. Рассмотрим следующие варианты:
и 
. 
Пусть 
. Заметим, что это возможно только в случаях, когда 
принадлежат нижнему уровню, причём лежат на позициях элементов 
(рис. 1). Либо a, b остаются на своих позициях, элемент c сдвигается на верхний уровень по соответствующему ребру (рис. 2). Либо элемент a остаётся на своей позиции, элементы b, c сдвигаются на верхний уровень по соответствующему ребру (рис 3). 
Нетрудно заметить, что во всех этих случаях 
.Пусть
, здесь так же 
.Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.
3. Рассмотрим в решётке элемент
, к нему существует относительное дополнение 
до элемента 
, т.е. 
и 
. Учитывая, что в решётке 
и 
, имеем следующее: 
и 
. Отсюда 
.4. Рассмотрим относительное дополнение элемента
до 
, это элемент 
. Таким образом: 
и 
. Учитывая, что в решётке выполняются тождества 
и 
имеем следующее: 
и 
. Отсюда 
.5. Так как в решётке выполняется ассоциативность
, а так же имея 
, то 
.6. Докажем дистрибутивность
или что то же самое