Обобщ нно булевы решетки (стр. 5 из 7)

Доказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что оно взаимно однозначно, т.е. что смежный класс определяет конгруэнцию . Это утверждение, однако, очевидно. Действительно тогда и только тогда, когда (*), последнее сравнение в свою очередь равносильно сравнению , где с – относительное дополнение элемента в интервале .

Действительно, помножим выражение (*) на с:

, но , а , отсюда .

Таким образом,

в том и только том случае, когда .

Примечание. Приведённое доказательство не полностью использует условие, что L – дистрибутивная решётка с дополнениями. Фактически, мы пользовались только тем, что L имеет нуль и является решёткой с относительными дополнениями. Такая решётка называется обобщённой булевой решёткой.

ТЕОРЕМА 2.3 (Хасимото [1952]). Пусть L – произвольная решётка. Для того, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнциями решётки L, при котором идеал, соответствующий конгруэнции

, являлся бы смежным классом по , необходимо и достаточно, чтобы решётка L была обобщённой булевой.

Доказательство. Достаточность следует из доказательства теоремы 2.2. Перейдём к доказательству необходимости.

Идеалом, соответствующим конгруэнции

, должен быть (0]; следовательно, L имеет нуль 0.

Если L содержит диамант , то идеал (a] не может быть смежным классом, потому что из следует и . Но , значит, любой смежный класс, содержащий , содержит и , и .

Аналогично, если L содержит пентагон

и смежный класс содержит идеал , то и , откуда . Следовательно, этот смежный класс должен содержать и .

Итак, решётка L не содержит подрешёток, изоморфных ни диаманту, ни пентагону. Поэтому, по теореме 1.2., она дистрибутивна.

Пусть

и . Согласно следствию из теоремы 2.1., для конгруэнции идеал так же является смежным классом, следовательно, , откуда . Опять применяя следствие из теоремы 2.1. получим, для некоторого . Так как , то и . Следовательно, о полу орого ледствие 4 получим, цииодержать , соответствующим конгруэнции образом мы должны только доказать, ______________ и , т.е. элемент является относительным дополнением элемента в интервале .

2.2. Основная теорема

(1)

Пусть - обобщённая булева решётка. Определим бинарные операции на B, полагая и обозначая через относительное дополнение элемента в интервале . Тогда - булево кольцо, т.е. (ассоциативное) кольцо, удовлетворяющее тождеству (а следовательно и тождествам , ).

(2) Пусть

- булево кольцо. Определим бинарные операции и на , полагая, что и . Тогда - обобщённая булева решётка.

Доказательство.

(1) Покажем, что

- кольцо.

Напомним определение. Кольцо

- это непустое множество с заданными на нём двумя бинарными операциями , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Коммутативность сложения:

выполняется ;

2. Ассоциативность сложения:

выполняется ;

3. Существование нуля, т.е.

, ;