Обобщ нно булевы решетки (стр. 4 из 7)

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть

- дистрибутивная решётка, и . Тогда и .

Доказательство. Обозначим через Ф бинарное отношение, определённое следующим образом:

и .

Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:

1) Ф – отношение рефлексивности: x·a = x·a ; x+b = x+b;

2) Ф – отношение симметричности:

x·a = y·a и x+b = y+b

y·a = x·a и y+b = x+b ;

3) Ф – отношение транзитивности.

Пусть

x·a = y·a и x+b = y+b и пусть y·с = z·с и y+d = z+d. Умножим обе части x·a = y·a на элемент с, получим x·a·c = y·a·c. А обе части y·с = z·с умножим на элемент a, получим y·c·a = z·c·a. В силу симметричности x·a·c = y·a·c = z·a·c. Аналогично получаем x+b+d = y+b+d = z+b+d. Таким образом .

Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.

Покажем, что Ф сохраняет операции. Если

и z

L, то (x+z) ·a = (x·a) + (z·a) = (y·a) + (z·a) = (y+z) ·a и (x+z)+b = z+(x+b) = z+(y+b); следовательно, . Аналогично доказывается, что и, таким образом, Ф – конгруэнция.

Наконец, пусть

- произвольная конгруэнция, такая, что , и пусть . Тогда x·a = y·a, x+b = y+b , и . Поэтому вычисляя по модулю , получим

, т.е. , и таким образом, .

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ 2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной решётки L. Тогда

в том и только том случае, когда для некоторого . В частности, идеал I является смежным классом по модулю .

Доказательство. Если

, то и элементы x·y·i, i принадлежат идеалу I.

Действительно

.

Покажем, что

.

Воспользуемся тем, что

(*), заметим, что и , поэтому мы можем прибавить к тождеству (*) или , и тождество при этом будет выполняться.

Прибавим : , получим .

Прибавим : , получим .

Отсюда

. Таким образом, .

Обратно согласно лемме 2,

|

Однако

и поэтому |

Если

, то откуда

.

Действительно,

(**).

Рассмотрим правую часть этого тождества:

Объединим первое и второе слагаемые –

.

Объединим первое и третье слагаемые –

,

таким образом

(***)

Заметим, что

, поэтому прибавим к обеим частям выражения (***) y:

Но

, отсюда .

Следовательно, условие следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента

. Наконец, если и , то , откуда и , т.е. является смежным классом.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение

является взаимно однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L. (Под понимаем класс нуля по конгруэнции , под понимаем решётку конгруэнций.)