Знаходження власних значеннь лінійого оператора (стр. 1 из 2)

Міністерство освіти і науки України

ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ

Реєстраційний №________

Дата ___________________

КУРСОВА РОБОТА

Тема:

Знаходження власних значень лінійного оператора

Рекомендована до захисту

“____” __________ 2008р.

Робота захищена

“____” __________ 2008р.

з оцінкою

_____________________

Підписи членів комісії

Зміст

Вступ

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

2. Матриця лінійного оператора

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Практична частина

1. Опис програми

2. Текст програми

3. Контрольний приклад

Висновок

Список літератури

Вступ

Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.

Нехай в дійсному лінійному просторі

задан лінійний оператор . Якщо вектор , відмінний від нуля, переводиться оператором у вектор, пропорційний самому ,

,

де

– деяке дійсне число, то вектор називається власним вектором оператора , а число – власним значенням цього оператора, причому, власний вектор відноситься до власного значення .

Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним

, є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.

Нехай

– деякий векторний простір над полем .

Означення 1. Вважають, що у векторному просторі

задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору простору ставиться у відповідність деякий вектор цього ж простору. Про цьому вектор називають образом вектора , а називають прообразом вектора .

Як бачимо, оператор у векторному просторі

– це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .

Означення 2. Оператор

у векторному просторі називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:

Лінійні оператори в просторі

називають також лінійним перетворенням простору .

З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:

1. Будь-який лінійний оператор

у просторі залишає нерухомим нульовий вектор цього простору, тобто .

2. Всякий лінійний оператор

у просторі протилежному вектору – будь-якого вектора , ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора , тобто .

3. Кожен лінійний оператор

у просторі будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів простору ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто .

2. Матриця лінійного оператора

Нехай

– деякий лінійний оператор у просторі . Виберемо в який-небудь базис . Оператор відображає вектори цього базису в деякі вектори . Кожен вектор єдиним способом лінійно виражається через вектори базису . Припустимо, що

Складемо з коефіціентів

матрицю . Рядками матриці є координатні рядки векторів в базисі . Оскльки координатні рядки векторів визначені однозначно, то й матриця визначається оператором в базисі .

Будемо вважати, що в базисі

лінійний оператор задається матрицею .

Отже, при зафіксованому базисі

кожному лінійному оператору простору відповідає певна квадратна матриця -го порядку – матриця цього оператора.

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора