Решение задач по высшей математике (стр. 2 из 2)

2) у =

3) y =

y¢ =

4) y = ctg(e^xcosx);

y¢=

Задача 70

Провести полное исследование функции и построить ее график.

у =

;

Решение:

1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).

2. Поведение функции на границах области определения:

3. у¢= х³ – х² = х²(x-1); у¢= 0, если х₁ = 0, х₂ = 1;

При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает.

При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает.

В точке х = 0 экстремума нет.

При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.

В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

4. у_min = ¹/₄ - ¹/₃ = - ¹/₁₂.

5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

у²= 3х² – 2х = x(3x-2).

у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х₁ = 0, х₂ = ²/₃;

При х < 0, у²> 0, график вогнутый.

При 0 < х < ²/₃, у²< 0, график выпуклый.

При х > ²/₃, у²> 0, график вогнутый.

Точки х₁ = 0 и х₂ = ²/₃ - точки перегиба графика функции.

у(0) = 0, у(²/₃ ) » -0,05

6. Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ. у = 0,

= 0 х₁ = 0, x₂ = ⁴/₃

С осью ОУ. х = 0, у= 0.

Задача 80

Найти частные производные первого и второго порядка функций.

z = x²∙sin y + y²∙cos x;

Решение:

= .

Задача 90

Дана функция

. Показать, что

Решение:

=

=

= - = 0, что и требовалось доказать.

Задача 100

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³ + 8y³ -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.

Решение:

1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:

3x² = 6y, y =

24y² = 6x,

x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = Ѕ

Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)

2. Ищем точки экстремумов на границах области:

а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у³+1;

24у², z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).

б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х³ – 6х+9;

3х² - 6 = 0, х² = 2 х = ± »±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

х = 1,4 , – точка К (1,4;1)

в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,

z = 8 + 8у³- 12у+1 = 8у³- 12у+9;

2у² = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)

г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х³ + 6х-7;

3х² + 6 ≠ 0, при любых значениях х.

2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.

Z_A = Z(0,-1) = -8+1=-7;

Z_B = Z(0,1) = 8+1=9;

Z_C = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

Z_D = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

Z_K = Z(

,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

Z_O = Z(0,0) = 1;

Z_M = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

Z_N = Z(1,

) = 0;

Z_Q = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

Z_min = -7, Z_max = 14,7.

Задача 110

Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):

Х	1	2	3	4	5
У	4,8	5,8	4,3	2,3	2,8

Решение:

Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:

Подсчитаем суммы:

1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55

4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5

Подставляем значения сумм в систему уравнений:

52,5 -55a -15b = 0

20 – 15a – 5 b = 0 (*3)

a = -0.75

20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25

Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.

Задача 120

Вычислить неопределенные интегралы:

1)

2)

3)

4)

; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,

dx =

5)

Подстановка:

Задача 130

Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

у = х², y = 2- x²

Решение:

S =

S

S

кв.ед.

Задача 140

Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:

(у-3)² +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох

Решение:

V =

V =

=

6p∙27 =162p куб.ед.

Литература:

1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.