Решение уравнений в целых числах (стр. 1 из 8)
СОДЕРЖАНИЕ:
| |
| |
| |
| |
| Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М | |
| |
ВВЕДЕНИЕ
Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.
Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.
Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.
В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.
1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным
 | (1) |
Пусть коэффициенты уравнения
и 
- целые числа. Ясно, что решение этого уравнения  |
будет целым числом только в том случае, когда
нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений 
и 
первое имеет целое решение 
, а второе в целых числах неразрешимо.С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение
имеет целые решения 
, 
; уравнение в целых числах неразрешимо, так как его корни 
,иррациональны.Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами
  | (2) |
решается легко. Действительно, пусть
- целый корень этого уравнения. Тогда  ,  . |
Из последнего равенства видно, что
делится 
без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения  , |
только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень
. Тем же методом легко показать, что уравнение  |
в целых числах неразрешимо.
Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.
2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными
 , | (3) |
где
и 
- целые числа, отличные от нуля, а 
- произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты и не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов 
отличен от единицы, то справедливы равенства 
, 
; уравнение (3) принимает вид  |
и может иметь целые решения только в том случае, когда
делится на 
. Таким образом, в случае 
- все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению   , |
коэффициенты которого
и 
взаимно просты.Рассмотрим сначала случай, когда
. Уравнение (3) перепишется так:  . | (3') |
Решая это уравнение относительно
, получим  . |
Ясно, что
будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда 
делится на без остатка. Но всякое целое , кратное , можно записать в виде  , |
где
принимает произвольные целые значения 
. Подставим это значение в предыдущее уравнение, тогда  , |
и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):