Решение уравнений в целых числах (стр. 8 из 8)
Так как
решение уравнения (29) 
.Равенство (28) в свою очередь может быть переписано в форме
.Перемножая почленно эти два последних равенства, мы получаем
(30)Но
и совершенно так же
.Воспользовавшись этими двумя равенствами, мы можем переписать равенство (30) в форме
или в форме
.Этим мы доказали, что если
- решение уравнения (25), то этому уравнению будет удовлетворять и пара чисел 
:
, 
, (31)где
- любое решение уравнения (29). Таким образом, мы доказали, что если уравнение (25) имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесчисленное множество.Нельзя, конечно, утверждать, что формулами (31) даются все решения уравнения (25). В теории алгебраических чисел доказывается, что все решения уравнения (25) в целых числах можно получить, взяв некоторое конечное и определенное зависящее от
и 
число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул (31). Уравнение (25) при А отрицательном или равном квадрату целого числа может иметь не более конечного числа решений. Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах, уравнений вида
(32)где числа А, В, С, D, Е и F - целые, сводится с помощью замен переменных к решению уравнений вида (25) с положительным или отрицательным А. Поэтому характер поведения решений, если они существуют, такой же, как и у уравнения типа (25). Подводя итог всему изложенному, мы можем теперь сказать, что уравнение второй степени с двумя неизвестными типа (32) может не иметь решений в целых числах, может иметь их только в конечном числе и, наконец, может иметь бесконечное множество таких решений, причем эти решения берутся тогда из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий, даваемых формулами (31).
ПРОГРАММА №1 (УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ)
 |
n – степень многочлена;
a – коэффициент при x;
c – свободный член уравнения;
d – делитель свободного члена;
w – вспомогательная переменная
для возведения d в степень
аргумента;
x – сумма возведенных d
в степень аргумента
умноженных на a
program matan_1;
uses crt;
var i,n,c,j,k,x,w,q,p:integer; a,d:array[1..100] of integer;
BEGIN
writeln ('введите степень многочлена');
readln (n);
for i:=1 to n+1 do begin
if i=n+1 then begin writeln ('введите свободный коэффициент');
read (c);end;
if i<>n+1 then begin Writeln ('введите коэффициент при x^',n-i+1);
readln (a[i]); end;end;
w:=1;
for j:=1 to c do begin
if c/j= (c div j) then begin d[j]:=-j;
k:=n;
for i:=1 to n do begin
for q:=1 to k do
w:=w*d[j];
x:=x+w*a[i];
k:=k-1;w:=1;end;
if x+c=0 then begin p:=p+1;
writeln('целый корень уравнения =',d[j]);end;
end; x:=0;end;
for j:=1 to c do begin
if c/j= (c div j) then begin d[j]:=j;
k:=n;
for i:=1 to n do begin
for q:=1 to k do
w:=w*d[j];
x:=x+w*a[i];
k:=k-1;w:=1;end;
if x+c=0 then begin p:=p+1;
writeln('целый корень уравнения =',d[j]);end;
end; x:=0;end;
if p=0 then writeln ('данное уравнение в целых числах неразрешимо');
readln;readln;
END.
ПРОГРАММА №2 (Уравнения первой степени с двумя неизвестными)
program matan_2;
var p,q,t,n,i,k,x,y,w,r,s,d:integer; a,b,c:array[1..1000]of integer;
BEGIN
writeln('вв. при х'); readln(p);
writeln('вв. при y'); readln(q);
writeln('вв. c'); readln(t);
if p<0 then x:=-p else x:=p; if q<0 then y:=-q else y:=q;
n:=0;n:=0;k:=1;
for i:=1 to 10 do begin
if k<>0 then begin n:=n+1;
for i:=n to n do begin
a[i]:=x; b[i]:=y;
c[i]:=x div y;
x:=x-c[i]*y;
k:=k+1;n:=0;r:=r+1;
if (x<y) and (x<>1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end else k:=0;
end;
end;end;
x:=p;y:=q;
for i:=1 to r do begin
a[i]:=x; b[i]:=y;
c[i]:=x div y;
x:=x-c[i]*y;a[i]:=1;b[i]:=1;
if (x<y) and (x<>1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end;
end;
for i:=r downto 1 do begin
b[r]:=0;
b[i]:=c[i]*b[i]+a[i];
if i>1 then b[i-1]:=b[i];
if i>2 then a[i-2]:=b[i-1];
end;
if (p*b[1]+q*a[1]+t)=0 then begin
writeln('корни уравнения x=',b[1],'y=',a[1]);
writeln ('все его решения будут содержаться в прогрессиях');
writeln('x=',b[1],'+',q,'*','t');
writeln('y=',a[1],'+',p,'*','t');end;
readln;
END.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сравнивая поведение и характер решений уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах с поведением решений уравнений первой степени, мы можем установить одно весьма существенное обстоятельство. Именно, если решения уравнения первой степени, когда они существуют, образуют арифметические прогрессии, то решения уравнения второй степени, когда их имеется бесконечно много, берутся из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий. Другими словами, в случае второй степени пары целых чисел, которые могут быть решениями уравнения, встречаются значительно реже, чем пары целых чисел, которые могут быть решениями уравнения первой степени. Это обстоятельство не случайно. Оказывается, что уравнения с двумя неизвестными степени выше второй, вообще говоря, могут иметь только конечное число решений. Исключения из этого правила крайне редки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. -4-е изд. –
М.: Наука, 1983. – 64 с. – (Популярные лекции по математике).